数学-线性代数3(相关性、基、维数、四个基本子空间)

九、线性相关性、基、维数

1、线性无关与线性相关

1）背景知识 2）线性无关与线性相关 3）零空间的作用 4）生成空间

2、基

3、维数

4、总结

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数学-线性代数1(向量、矩阵、消元)

数学-线性代数2(矩阵乘法、逆矩阵、转置-转换-向量空间)

数学-线性代数3(相关性、基、维数、四个基本子空间)

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九、线性相关性、基、维数

1、线性无关与线性相关

1）背景知识

首先强调，接下来我们谈论的概念都是基于向量组的，而不是基于矩阵。线性无关、线性相关是向量组内的关系，基也是一个向量组，不要与矩阵概念混淆。

首先从之前学习的 Ax = 0 方程谈起。假设 m*n 的矩阵 A：

显然n > m，以这样的矩阵 A 构成的方程 Ax = 0，此时未知数的个数比方程的个数多。未知数一共 n 个，方程一共 m 个。

所以此时 A 的零空间中除零向量以外还有其他向量，原因是这样的 A 一定有自由变量(至少有 n-m 个自由变量)，这就造成了零空间中向量的无穷解。

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2）线性无关与线性相关

我们之前也接触了线性无关与线性相关的相关概念。接下来直接给出定义：

（1）线性无关

除系数全为 0 的情况外，没有其他线性组合方式能得到零向量，则这组向量线性无关。设向量组为 1、2、3…xn。即 c 不全为 0 时，任何 11 + 22 + ……线性组合的结果都不为零，则此向量组线性无关。

（2）线性相关

除了零组合之外还有其他的线性组合方式能得到零向量，则这组向量线性相关。

注：如果一个向量组中有零向量存在，那么这个向量组一定是线性相关的。

比如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。再举几个例子感受一下上面的概念：

【例】

（1）v1与2v1组成的向量组：-2(v1) + (2v1) = 0 线性相关

（2）v1与零向量组成的向量组：0(v1) + 1(0) = 0 线性相关

（3）二维平面上不共线的两个向量：没有线性组合可以使它们构成零向量所以此向量组线性无关。

（4）二维平面上不共线的三个向量：二维平面上的三个向量之间一定是线性相关的

这里用到了我们上面的背景知识的延伸。

首先构造此图对应的矩阵 A：

很明显，寻找线性组合可以写成如下形式：

显然A 矩阵是 n>m 型的矩阵。而根据我们的背景知识（2.1），Ac = 0 这个方程对应的零空间中，除了零向量肯定还有其他向量，也就是存在一种 c 不全为 0 的情况，使 A 各列线性组合后得到 0。也就是 A 各列的v1、v2、v3线性相关。

很明显，【例】中第 4 题将线性相关与线性无关与零空间联系了起来。

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3）零空间的作用

根据上面的例题 4，我们再从矩阵的零空间与矩阵列向量角度重新定义。

向量组的线性相关/无关。假设现有一 m*n 矩阵 A：

（1）如果 A 各列向量构成的向量组是线性无关的，那么矩阵 A 的零空间中只有零向量。

（2）如果 A 各列向量构成的向量组是线性相关的，那么矩阵 A 零空间中除零向量之外还一定有其他向量。

很好理解上面零空间角度的定义。因为零空间反映的就是 A 各列向量的线性组合。

从秩的角度看来：

（1）线性无关对应向量组构成的矩阵，秩为 n，此时没有自由变量，零空间中只有零向量存在。

（2）线性相关对应向量组构成的矩阵，秩小于 n，有 n-r 个自由变量，零空间中有很多向量。

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4）生成空间

所谓生成空间，即为此空间由向量v1、v2、v3…vn即它们的线性组合构成，就称v1、v2、v3…vn生成了一个空间，可以理解为：把向量组的所有线性组合放到了一个空间里面。但是v1、v2、v3…vn不一定是线性无关的，我们更关心线性无关的v1、v2、v3…vn，因为它们可以表示出空间的特征，这就引出了“基”的概念。

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2、基

首先给出“基”的概念：一组向量v1、v2、v3…vn，具有两个性质：

（1）1、2、3…线性无关。

（2）1、2、3…生成整个空间。

例：三维空间中的

基可以代表空间的很多性质，十分重要。一个空间的基有很多种，比如三维空间的基还可以是

但是我们发现，一个空间的不同基，其中向量的个数是一定的。如果A是Rn空间的基，那么 A 中向量的个数就是 n 个。比如三维空间R3，基一定是三个向量构成的向量组。

这里给出一个性质：

Rn中的 n 个向量构成基，则以这 n 个向量构成的 n*n 矩阵必须可逆。这个性质很好理解，矩阵可逆就意味着任意两行，两列都线性无关，所以可以构成一组生成空间的基。

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3、维数

上面介绍基的时候提到了“Rn空间的基中向量个数为 n 个。”这个“n”我们称之为维数。同一个空间内，即使基不同，基向量的个数也必须相等。理解维数也很简单，像我们的三维空间，其基一定是三个三维向量（三个向量，每个向量有三个分量），四维空间的基也一定是四个四维向量。

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4、总结

这一节学习了很多概念问题，我们通过一道例题回顾一下【例】假设列空间由矩阵 A 确定：

则有接下来几个问题：

（1） A 的各列是不是 A 列空间的基？显然不是。

从线性组合角度看，列 1 加列 2 等于列 3，这几列显然线性相关。或从零空间的角度看来，求 A 的零空间中向量：Ac=0

其中一个特解为：

就意味着零空间中不只有零向量。所以这些列向量线性相关，不能构成基。

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（2）找出 A 列空间的一个基从 A 的结构看来：

显然，可以取前两列作为基。所以 A 的列空间的维数为：2。

再看 A 矩阵，显然 A 的秩为 2，消元后只有两个主列。所以有：矩阵 A 的秩 = 矩阵 A 主列的个数 = A 列空间的维数

这下我们就将矩阵的秩与列空间的维数联系了起来，而更重要的是，我们知道了列空间的维数，那么在这个列空间中随便找两个线性无关的向量，它们就可以构成一组基，这组基就可以生成这个列空间。

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（3） A 对应零空间的维数为多少?

所谓零空间维数，即是零空间基的个数，也是 Ax = 0 的特解的个数，还可以理解为：Ax = 0 的解中自由变量的个数。

最简单的方法是解 Ax = 0 这个方程。经过消元，自由变量赋值，回代，最后得到两个特解：

所以此零空间的维数为 2。

类似，有这样一个很简单的公式：m*n 矩阵中，主列个数为 r，秩为 r，则有：零空间维数 = n-r

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