【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第7章-几类特殊矩阵与特殊积

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第7章-几类特殊矩阵与特殊积

7.1 非负矩阵
- 7.1.1 非负矩阵与正矩阵
- - 定理 7.1.3 （谱半径的单调性）
  - 定理 7.1.4 （佩龙 (Perron) 定理）
- 7.1.2 不可约非负矩阵
- - 定义 7.1.2 （可约与不可约矩阵）
  - 定理 7.1.9 （佩龙-弗罗贝尼乌斯 (Perron-Frobenius) 定理）
- 7.1.3 素矩阵与循环矩阵
7.2 随机矩阵与双随机矩阵
7.3 单调矩阵
7.4 MMM 矩阵与 HHH 矩阵
- 7.4.1 MMM 矩阵
- - 定义 7.4.1
- 7.4.2 HHH 矩阵
7.5 TTT 矩阵与汉克尔矩阵
7.6 克罗内克积
- - 定义 7.6.1
- 7.6.1 克罗内克积的概念
- 7.6.2 克罗内克积的性质
7.7 阿达马积
7.8 反积及非负矩阵的阿达马积
7.9 克罗内克积应用举例
- 7.9.1 矩阵的拉直
- 7.9.2 线性矩阵方程的解

7.1 非负矩阵

注意：非负矩阵和正矩阵的概念与非负定矩阵和正定矩阵的概念是不同的。

正定矩阵相关解释可参考：【数理知识】标量函数、二次型函数、矩阵、正定负定半正定半负定

7.1.1 非负矩阵与正矩阵

对于任意的 A=(aij)∈Cm×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{m\times n}A=(aij)∈Cm×n，引进记号
∣A∣=(∣aij∣)(7.1.2)|A| = (|a_{ij}|) \tag{7.1.2}∣A∣=(∣aij∣)(7.1.2)

即表示以 aija_{ij}aij 之模 ∣aij∣|a_{ij}|∣aij∣ 为元素所得的非负矩阵；特别地，当 x=(x1,⋯,xn)T∈Cnx=(x_1, \cdots,x_n)^T \in \mathbb{C}^nx=(x1,⋯,xn)T∈Cn 时，∣x∣=(∣x1∣,⋯,∣xn∣)T|x|=(|x_1|,\cdots,|x_n|)^T∣x∣=(∣x1∣,⋯,∣xn∣)T 表示一个非负向量。

注意，这里使用的记号 ∣A∣|A|∣A∣ 与 ∣x∣|x|∣x∣，不要与前面讲的“方阵的行列式”和“向量的长度”概念混淆。

定理 7.1.3 （谱半径的单调性）

设 A,B∈Cn×nA,B\in \mathbb{C}^{n\times n}A,B∈Cn×n，若 ∣A∣≤B|A|\le B∣A∣≤B，则
ρ(A)≤ρ(∣A∣)≤ρ(B)(7.1.3)\rho(A)\le\rho(|A|)\le\rho(B)\tag{7.1.3}ρ(A)≤ρ(∣A∣)≤ρ(B)(7.1.3)

定理 7.1.4 （佩龙 (Perron) 定理）

设 A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n，且 ρ(A)\rho(A)ρ(A) 为其谱半径，若 A>0A>0A>0（正矩阵），则
（1）ρ(A)\rho(A)ρ(A) 为 AAA 的正特征值，其对应的一个特征向量 y∈Rny\in\mathbb{R}^ny∈Rn 必为正向量；
（2）对 AAA 的任何其他特征值 λ\lambdaλ，都有 ∣λ∣<ρ(A)|\lambda|<\rho(A)∣λ∣<ρ(A)；
（3）ρ(A)\rho(A)ρ(A) 是 AAA 的单特征值。

7.1.2 不可约非负矩阵

定义 7.1.2 （可约与不可约矩阵）

设 A∈Rn×n(n≥2)A\in \mathbb{R}^{n\times n}(n\ge2)A∈Rn×n(n≥2)，若存在 nnn 阶置换矩阵 PPP，使
PAPT=[A11A120A22](7.1.20)PAP^T = \left[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}\right]\tag{7.1.20}PAPT=[A110A12A22](7.1.20)

其中， A11A_{11}A11 为 rrr 阶方阵，A22A_{22}A22 为 n−rn-rn−r 阶方阵（1≤r<n1\le r<n1≤r<n），则称 AAA 为可约（可分）矩阵，否则称 AAA 为不可约矩阵。

定理 7.1.9 （佩龙-弗罗贝尼乌斯 (Perron-Frobenius) 定理）

设 A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n 是不可约非负矩阵，则
（1）AAA 有一正实特征值恰等于它的谱半径 ρ(A)\rho(A)ρ(A)，并且存在正向量 x∈Rnx\in \mathbb{R}^nx∈Rn，使得 Ax=ρ(A)xAx = \rho(A)xAx=ρ(A)x；
（2）ρ(A)\rho(A)ρ(A) 是 AAA 的单特征值；
（3）当 AAA 的任意元素（一个或多个）增加时，ρ(A)\rho(A)ρ(A) 增加。

英文版的 Perron-Frobenius Theorem 参考 On constructing Lyapunov functions for multi-agent systems

7.1.3 素矩阵与循环矩阵

7.2 随机矩阵与双随机矩阵

7.3 单调矩阵

7.4 MMM 矩阵与 HHH 矩阵

1937年，奥斯乔斯基（Ostrowski）发现一类具有特殊构造的矩阵，其非对角元素（i≠ji\ne ji=j）aij≤0a_{ij}\le 0aij≤0，即这种矩阵 AAA 都可以表示为 A=sI−BA=sI-BA=sI−B，且 s>0,B≥0s>0,B\ge0s>0,B≥0，故称这种矩阵与非负矩阵有一定的联系，称为闵可夫斯基（Minkovski）矩阵，简称 MMM 矩阵。

7.4.1 MMM 矩阵

定义 7.4.1

设 A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n ，且可表示为
A=sI−B,s>0,B≥0(7.4.1)A=sI-B,\quad s>0,B\ge0 \tag{7.4.1}A=sI−B,s>0,B≥0(7.4.1)

若 s≥ρ(B)s\ge\rho(B)s≥ρ(B)，则称 AAA 为 MMM 矩阵；若 s>ρ(B)s>\rho(B)s>ρ(B)，则称 AAA 为非奇异 MMM 矩阵。

7.4.2 HHH 矩阵

7.5 TTT 矩阵与汉克尔矩阵

7.6 克罗内克积

定义 7.6.1

设 A=(aij)∈Cm×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{m\times n}A=(aij)∈Cm×n，B=(bij)∈Cp×qB=(b_{ij}) \in \mathbb{C}^{p\times q}B=(bij)∈Cp×q，则称如下的分块矩阵
A⊗B=[a11Ba12B⋯a1nBa21Ba22B⋯a2nB⋮⋮⋱⋮am1Bam2B⋯amnB]∈Cmp×nqA\otimes B = \left[\begin{matrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{matrix}\right] \in\mathbb{C}^{mp\times nq}A⊗B=⎣⎢⎢⎢⎡a11Ba21B⋮am1Ba12Ba22B⋮am2B⋯⋯⋱⋯a1nBa2nB⋮amnB⎦⎥⎥⎥⎤∈Cmp×nq

为 AAA 的克罗内克（Kronecker）积，或称 AAA 与 BBB 的直积，或张量积，简记为 A⊗B=(aijB)mp×nqA\otimes B=(a_{ij}B)_{mp\times nq}A⊗B=(aijB)mp×nq。即 A⊗BA\otimes BA⊗B 是一个 m×nm\times nm×n 块的分块矩阵，最后是一个 mp×nqmp\times nqmp×nq 矩阵。

扩展：Matlab 计算克罗内克积函数 Kron(A,B)

【数理知识】kronecker 克罗内克积

7.6.1 克罗内克积的概念

7.6.2 克罗内克积的性质

7.7 阿达马积

7.8 反积及非负矩阵的阿达马积

7.9 克罗内克积应用举例

7.9.1 矩阵的拉直

7.9.2 线性矩阵方程的解

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