如何理解凸优化中的共轭函数的定义？
共轭函数的意义主要就是：一个函数即便不是凸函数，但通过共轭法获得一个凸函数，很方便求解全局最优解的问题。
另外，共轭函数亦称对偶函数、极化函数，函数的某种对偶变换。过多的东西我就不再赘述了。
此处我是想着重讲一讲为什么共轭函数是可以“保凸”的，首先我们先给出共轭函数的表达式：
其中注意变量z的定义域：
这一步的限制非常关键，共轭函数g(z)反映的是线性函数与f(x)之间的最大差值，这个差值不是距离上的绝对值，可大于0也可小于0. 我们对变量z的取值加了限制，也就使得下图的凹函数对应的共轭函数取值恒为0
由该图可容易看到，线性函数与f(x)之间的最大差值恒为 ∞ ，这明显是不合要求的，即该凹函数上的所有点都不可取，因此其共轭函数也就保凹了。
同理，我们再来看一组具有多个局部最小值的函数
函数画的较丑，大家多多见谅
该函数中，点B和C是两个极小值点，那么共轭函数最终是如何知道舍弃点C，从而确保整个函数只有一个最小值点（也就是凸函数）呢？这一块我看西瓜书和网上的帖子都好像没提到，可能是太简单都觉得不值一提吧，可我这个数学渣渣真的是看了一天，最后是一直画图终于比划出来了。
对于这样具有多个鞍点的函数来说，当线性函数的z取值为一定区间时，该直线会与原函数有多个切点，本原函数只有3个鞍点，所以最多就是2个切点。我之前一直是以为只有1个切点，所以一直认为共轭函数并不能保凸，或者说是只对于凸函数才能保凸。
多个切点内选取一个函数与f(x)之间的最大差值，该差值即为我们最终需要的值。
经过一番比划，我们大致可排除了原函数内自变量x的一些点区间，如下图所示：
中间划掉的即为不满足共轭函数变量z要求的值，满足要求的点即为点B的左侧以及点C的右侧，初步认为这两侧合起来就是十分规范的凸函数。
以上，证毕。
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