【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第1章-矩阵的几何理论

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第1章-矩阵的几何理论

1.1 线性空间上的线性算子与矩阵
- 1.1.1 线性空间
- 1.1.2 线性算子及其矩阵
1.2 内积空间上的等积变换
- 1.2.1 内积空间
- - 1. 内积与欧几里得空间
  - - 柯西-施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式：
    - 格拉姆矩阵：
  - 2. 酉空间介绍
- 1.2.2 等积变换及其矩阵
1.3 埃尔米特变换及其矩阵
- 1.3.1 对称变换与埃尔米特变换
- - 定理1.3.2 （舒尔 (Schur) 定理）
- 1.3.2 埃尔米特正定、半正定矩阵
- 1.3.3 矩阵不等式
- 1.3.4 埃尔米特矩阵特征值的性质
- 1.3.5 一般的复正定矩阵

1.1 线性空间上的线性算子与矩阵

1.1.1 线性空间

1.1.2 线性算子及其矩阵

1.2 内积空间上的等积变换

1.2.1 内积空间

1. 内积与欧几里得空间

柯西-施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式：

∣(x,y)∣≤∣x∣∣y∣(1.2.5)|(x,y)| \le |x|\ |y| \tag{1.2.5}∣(x,y)∣≤∣x∣ ∣y∣(1.2.5)

格拉姆矩阵：

A=(1.2.11)A = \tag{1.2.11}A=(1.2.11)
度量矩阵，又叫做格拉姆 (Gram) 矩阵。

2. 酉空间介绍

欧氏空间是针对实线性空间而言的，即在实线性空间上定义内积运算便构成欧氏空间，而酉空间实际上就是一个特殊的复线性空间。

酉空间的理论与欧氏空间的理论很相近，有一套平行的理论。

为了避免复数平方为负一的麻烦，对于 nnn 维复向量空间 Cn\mathbb{C}^nCn 的内积一开始就固定为 (x,y)=∑i=1nxiy‾i(x,y) = \sum_{i=1}^{n} x_i\overline{y}_i(x,y)=∑i=1nxiyi，其中 y‾i\overline{y}_iyi 是 yiy_iyi 的共轭复数，那么 (x,x)=∑i=1nxix‾i=∑i=1n∣xi∣2(x,x) = \sum_{i=1}^{n} x_i\overline{x}_i = \sum_{i=1}^{n} |x_i|^2(x,x)=∑i=1nxixi=∑i=1n∣xi∣2 必然是非负的。

1.2.2 等积变换及其矩阵

1.3 埃尔米特变换及其矩阵

1.3.1 对称变换与埃尔米特变换

定理1.3.2 （舒尔 (Schur) 定理）

任何 nnn 阶矩阵 AAA 都酉相似于一个上三角阵，即存在一个 nnn 阶酉矩阵 UUU 和一个上三角阵 RRR（书中此处写的 RRR，但感觉写错了，应该是 TTT 才对），使得
UHAU=T或A=UTUHU^HAU = T\quad 或\quad A = UTU^HUHAU=T或A=UTUH

其中，TTT 的主对角元是 AAA 的特征值，他们可以按所要求的次序排列。

扩展：酉矩阵 (unitary matrix)
又称为幺正矩阵。酉矩阵是实数上的正交矩阵，在复数的推广。
酉矩阵是一个 n×nn\times nn×n 复数方块矩阵，满足以下性质：U∗U=UU∗=InU^*U = UU^* = I_nU∗U=UU∗=In
其中，U∗U^*U∗ 是 UUU 的共轭转置，InI_nIn 是 n×nn\times nn×n 单位矩阵。
换句话说，酉矩阵的逆矩阵就是其共轭转置：U−1=U∗U^{-1} = U^*U−1=U∗
From: 酉矩阵-维基百科

扩展：共轭转置 (Conjugate transpose)
又称为埃尔米特共轭 (Hermitian transpose)。
A∗A^*A∗ 的定义为：
(A∗)i,j=Aj,i‾(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}(A∗)i,j=Aj,i
或
A∗=(A‾)T=AT‾A^*=(\overline{A})^T = \overline{A^T}A∗=(A)T=AT
其中， ATA^TAT 是 AAA 的转置，A‾\overline{A}A 表示对矩阵 AAA 中的元素取复共轭。

实例：若 A=[3+i52−2ii]A =\left[ \begin{matrix} 3+i & 5\\ 2-2i & i\end{matrix}\right]A=[3+i2−2i5i]
则 A∗=[3−i2+2i5−i]A^* =\left[ \begin{matrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i\end{matrix}\right]A∗=[3−i52+2i−i]
通常用以下记号表示矩阵 AAA 的共轭转置：

A∗A^*A∗ 或 AHA^HAH，常用语线性代数

A†A^\dagA†，普遍用于量子力学，而同时 A∗A^*A∗ 只表示为 AAA 的复数共轭

A+A^+A+ （但这一记号通常指矩阵的摩尔-彭若斯广义逆 (Moore–Penrose pseudoinverse)）

注意：某些情况下 A∗A^*A∗ 也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。
From: 共轭转置-维基百科

1.3.2 埃尔米特正定、半正定矩阵

1.3.3 矩阵不等式

1.3.4 埃尔米特矩阵特征值的性质

1.3.5 一般的复正定矩阵

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