【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第2章-\lambda 矩阵与 Jordan 标准形

上一章	回到目录	下一章

第2章-\lambda 矩阵与 Jordan 标准形

2.1 λ\lambdaλ 矩阵
- 2.1.1 λ\lambdaλ 矩阵的概念
- 2.1.2 λ\lambdaλ 矩阵在相抵下的标准形
- 2.1.3 不变因子与初等因子
2.2 若儿当标准形
- 2.2.1 数字矩阵化为相似的若儿当标准形
- - 定义 2.2.1 （mim_imi 阶若尔当块）
  - 定义 2.2.2 （nnn 阶若尔当标准形）
  - 定义 2.2.3 （次）
  - 引理
  - 定理 2.2.1
  - 定理 2.2.2
  - 推论
  - 定理 2.2.3
- 2.2.2 若儿当标准形的其他求法
B 站视频课
- 定理1 （Jordan 标准形的存在性）
- 定理2 （Jordan 标准形的唯一性）
- 定理3 （）

2.1 λ\lambdaλ 矩阵

[λ1⋱λn]\left[\begin{matrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{matrix}\right]⎣⎡λ1⋱λn⎦⎤

2.1.1 λ\lambdaλ 矩阵的概念

2.1.2 λ\lambdaλ 矩阵在相抵下的标准形

2.1.3 不变因子与初等因子

2.2 若儿当标准形

2.2.1 数字矩阵化为相似的若儿当标准形

亏损矩阵不能相似于对角阵，但它能相似于一个形式上比对角阵稍复杂的若尔当标准形 JJJ。

定义 2.2.1 （mim_imi 阶若尔当块）

形如
[λi1λi1⋱⋱λi1λi]mi×mi,\left[\begin{aligned} \begin{matrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \lambda_i & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda_i & 1 & \\ &&&&\lambda_i\\ \end{matrix} \end{aligned}\right]_{m_i \times m_i},⎣⎢⎢⎢⎢⎡λi1λi1⋱⋱λi1λi⎦⎥⎥⎥⎥⎤mi×mi,

的方阵称为 mim_imi 阶若尔当块。其中 λi\lambda_iλi 可以是实数 R\mathbb{R}R，也可以是复数 C\mathbb{C}C。

定义 2.2.2 （nnn 阶若尔当标准形）

由若干个若尔当块组成的分块对角阵
[J1J2⋱Jt]mi×mi,\left[\begin{aligned} \begin{matrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_t \\ \end{matrix} \end{aligned}\right]_{m_i \times m_i},⎣⎢⎢⎡J1J2⋱Jt⎦⎥⎥⎤mi×mi,

其中 Ji(i=1,2,⋯,t)J_i(i=1,2,\cdots,t)Ji(i=1,2,⋯,t) 为 mim_imi 阶若尔当块，当 ∑i=1tmi=n\sum_{i=1}^{t}m_i = n∑i=1tmi=n 时，称为 nnn 阶若尔当标准形，记为 JJJ。

定义 2.2.3 （次）

引理

设 A(λ)A(\lambda)A(λ) 和 B(λ)B(\lambda)B(λ) 分别为 LLL 次和 mmm 次的 nnn 阶 λ\lambdaλ 矩阵，即有
A(λ)=A(\lambda) = A(λ)=

定理 2.2.1

矩阵 A∼BA \sim BA∼B 的充要条件是它们相应的特征矩阵 λI−A≃λI−B\lambda I - A \simeq \lambda I - BλI−A≃λI−B。

定理 2.2.2

每个 nnn 阶矩阵 AAA 都与一个若尔当标准形 JJJ 相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全由矩阵 AAA 惟一决定（即每个矩阵都有若尔当标准形）。

推论

矩阵 AAA 可对角化的充要条件是 AAA 的特征矩阵的初等因子全为一次式。

定理 2.2.3

设 A\mathscr{A}A 是复数域上 nnn 维线性空间 VVV 上的线性变换，则在 VVV 中存在一组基使得 A\mathscr{A}A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。

2.2.2 若儿当标准形的其他求法

B 站视频课

定理1 （Jordan 标准形的存在性）

设 AAA 为 nnn 阶复矩阵，则存在可逆的 nnn 阶复矩阵 CCC，使得 C−1AC=JC^{-1}AC=JC−1AC=J 为 Jordan 形矩阵（称 JJJ 为 AAA 的 Jordan 标准形）。

注：
[J1J2⋱Js]∼[Ji1Ji2⋱Jis]\left[\begin{aligned} \begin{matrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s \\ \end{matrix} \end{aligned}\right] \sim \left[\begin{aligned} \begin{matrix} J_{i_1} & & & \\ & J_{i_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{i_s} \\ \end{matrix} \end{aligned}\right] ⎣⎢⎢⎡J1J2⋱Js⎦⎥⎥⎤∼⎣⎢⎢⎡Ji1Ji2⋱Jis⎦⎥⎥⎤

其中 i1,i2,⋯,isi_1,i_2,\cdots,i_si1,i2,⋯,is 为 1,2,⋯,s1,2,\cdots,s1,2,⋯,s 的一个排列。

定理2 （Jordan 标准形的唯一性）

设 AAA 为 nnn 阶复矩阵，λ0\lambda_0λ0 为 AAA 的特征值，kkk 为正整数，则 AAA 的 Jordan 标准形中
[λ01λ0⋱⋱⋱λ01λ0]k×k\left[\begin{aligned} \begin{matrix} \lambda_0 & 1 & & & \\ & \lambda_0 & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda_0 & 1 & \\ &&&&\lambda_0 \\ \end{matrix} \end{aligned}\right]_{k \times k}⎣⎢⎢⎢⎢⎡λ01λ0⋱⋱⋱λ01λ0⎦⎥⎥⎥⎥⎤k×k

的个数等于 r(Bk−1)−2r(Bk)+r(Bk+1)r(B^{k-1})-2r(B^k)+r(B^{k+1})r(Bk−1)−2r(Bk)+r(Bk+1)，其中 B=A−λ0EB=A-\lambda_0 EB=A−λ0E。

因此，若不计 Jordan 块的次序，则 AAA 的 Jordan 标准形是唯一的。

注：
当 k=1k=1k=1 时，有 B0B^0B0。此时对于 mmm 阶矩阵 BBB，规定 B0=EB^0=EB0=E，r(B0)=r(E)=mr(B^0) = r(E) = mr(B0)=r(E)=m。

定理3 （）

设 A,BA,BA,B 为 nnn 阶复矩阵，则 AAA 与 BBB 相似的充要条件是 AAA 与 BBB 有相同的 Jordan 标准形。

Ref: 若尔当标准形简介

上一章	回到目录	下一章