洛谷 - P3980 [NOI2008]志愿者招募(最小费用最大流+思维建边)

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题目大意：现在有n天需要志愿者，每一天需要招募的人数是Ai个人，现在有m类志愿者，每类志愿者可以在[l,r]天内被招募，需要花费的代价为Ci，现在需要安排一种招募方式，可以使得总花费最少

题目分析：看了题解后看大佬们分析的线性规划以及动态规划的解法都是一脸懵逼的，因为是随着网络流的标签进入到这个题目，所以自然要往网络流的方向去靠拢，看到这个题可以将模型抽象出来，发现是关于区间覆盖的问题，之前网络流24题里有一个最长k可重区间集问题，好像可以用那个模型套一下试试，因为招募志愿者，只需要支付一次费用就可以享受[l,r]内所有天的服务，所以我们理所应当建一条边从l到r+1，流量为无穷大，花费为对应的代价，那么多余的志愿者该怎么办呢，可以模仿可重区间集的那个问题的思想，开一条特殊的“通道”，将多余的志愿者流过去而不影响最终花费，当然我们需要将源点连向第一个点，同时最后一个点连向汇点，在处理多余志愿者时，我们因为只需要Ai个志愿者，所以-Ai个志愿者是多余的，换句话说，如果我们一共有10个人，现在需要a个志愿者，那么10-a个志愿者是多余的，同理，只不过这里的10个人我们视为0就会出现-Ai这样的取值了，不过在建边时正向边的流量必须非负，这样我们自然可以加上一个很大的数，用来限流即可，具体建边方法如下：

源点->第一个点，流量为inf，花费为0
每个点->下一个点，流量为inf-Ai，花费为0
志愿者开始日期->志愿者结束日期+1，流量为inf，花费为Ci
最后一个点->汇点，流量为inf，花费为0

最后解释一下为什么让多余的志愿者流过去可以这样操作，因为我们源点和汇点的流量都设置为了无穷大，所以整张图最后跑出来的最大流一定是无穷大的，既然每个点到下一个点的这一条道路我们将其用作给多余的志愿者使用的道路，而对于每条这样的边，其权值都会比inf少Ai，但既然要保证最后的最大流为inf，少掉的这Ai的流量当然要从带权值的边上跑才行，也就达到了限流的目的

说在最后，其实这个题目正常人第一反应都是源点到志愿者建边，志愿者再到可影响的天数建边，但是会发现这是一个典型的网络流无法解决的“一对多”的模式，也就是志愿者的一个单位的流量会影响多个天数，所以我们必须转换思维模式，才能进行求解

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e3+100;//点const int M=1e5+100;//边struct Edge
{int to,w,cost,next;
}edge[M];int head[N],cnt;void addedge(int u,int v,int w,int cost)
{edge[cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].cost=cost;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;edge[cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].cost=-cost;edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++;
}int d[N],incf[N],pre[N];bool vis[N];bool spfa(int s,int t)
{memset(d,inf,sizeof(d));memset(vis,false,sizeof(vis));memset(pre,-1,sizeof(pre));queue<int>q;q.push(s);vis[s]=true;incf[s]=inf;d[s]=0;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();vis[u]=false;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;int w=edge[i].w;int cost=edge[i].cost;if(!w)continue;if(d[v]>d[u]+cost){d[v]=d[u]+cost;pre[v]=i;incf[v]=min(incf[u],w);if(!vis[v]){vis[v]=true;q.push(v);}}}}return pre[t]!=-1;
}int update(int s,int t)
{int x=t;while(x!=s){int i=pre[x];edge[i].w-=incf[t];edge[i^1].w+=incf[t];x=edge[i^1].to;}return d[t]*incf[t];
}void init()
{memset(head,-1,sizeof(head));cnt=0;
}int solve(int st,int ed)
{int ans=0;while(spfa(st,ed))ans+=update(st,ed);return ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int n,m,st=N-1,ed=st-1;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){int num;scanf("%d",&num);addedge(i,i+1,inf-num,0);}while(m--){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);addedge(u,v+1,inf,w);}addedge(st,1,inf,0);addedge(n+1,ed,inf,0);printf("%d\n",solve(st,ed));return 0;
}

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