【考研数学】函数、极限、连续

（一）函数

定义域、邻域
认识基本函数：幂、指、对、三角、反三角
复合函数、显函数、隐函数（⚠️隐函数的条件）
函数的有界性、上下界、上下确界

1、狄利克雷函数

注意狄利克雷函数的黎曼不可积性。它在很多地方可以作为一个反例。
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ D(x) = \begin…

周期函数不一定具有最早正周期

2、双曲函数

我是学通信的，复习到这个，就多留意了一点。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ sinh(x) &=…
容易联想到两个公式：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ sin(x) &= …
公式(3)在信号与系统中经常看到，比如计算sin(x)的傅立叶变换的时候，可以先转化成复指数的形式。公式(4)是一个经典的积分公式，要记。

项目	双曲函数	三角函数
平方差/和	cosh2x−sinh2x=1cosh^2x-sinh^2x=1cosh2x−sinh2x=1	cos2x+sin2x=1cos^2x+sin^2x=1cos2x+sin2x=1
和/差角公式1	sinh(x±y)=sinh(x)cosh(y)±cosh(x)sinh(y)sinh(x \pm y)=sinh(x)cosh(y) \pm cosh(x)sinh(y)sinh(x±y)=sinh(x)cosh(y)±cosh(x)sinh(y)	sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)sin(x\pm y)=sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)
和/差角公式2	cosh(x±y)=cosh(x)cosh(y)±sinh(x)sinh(y)cosh(x \pm y)=cosh(x)cosh(y) \pm sinh(x)sinh(y)cosh(x±y)=cosh(x)cosh(y)±sinh(x)sinh(y)	cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)cos(x\pm y)=cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)
倍角公式1	sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)	sin(2x)=2sin(x)cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
倍角公式2	cosh(2x)=cosh2x+sinh2xcosh(2x)=cosh^2x+sinh^2xcosh(2x)=cosh2x+sinh2x	cos(2x)=cos2x+sin2xcos(2x)=cos^2x+sin^2xcos(2x)=cos2x+sin2x

3、heaviside函数

就是单位阶跃函数，在x=0处函数发生了跳变，heaviside函数的导函数为单位冲激函数。在信号处理领域应用极广。
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ u(x)= …

（二）极限

极限的三种定义(ϵ−N)(\epsilon-N)(ϵ−N)、(ϵ−δ)(\epsilon-\delta)(ϵ−δ)、(ϵ−X)(\epsilon-X)(ϵ−X)，留意这三种定义对应的情况
极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、列与子列的关系
无穷小、等价无穷小
夹逼准则、单调有界有极限

1、定义

极限定义分为三种：

第一种数列极限，考虑当n趋近于无穷大(比任意N>0还要大)的时候，保证数列趋近于某个常数，比如xn=1nx_n=\frac{1}{n}xn=n1
第二种函数极限，考虑当x趋近于x0x_0x0的时候，保证函数值趋近于某个常数，数学上用和x0x_0x0的距离比任意小δ\deltaδ还小来刻画x趋近于x0x_0x0
- 注意，在一维情况下，x从正负两个方向趋近于x0x_0x0，在二维的情况下，(x,y)从360˚趋近于(x0,y0x_0,y_0x0,y0)
第三种也是函数极限，考虑当x趋近于无穷大(比任意X>0还要大)的时候，此时需要保证，函数值趋近于某个常数

2、性质

唯一性：趋近于同一个自变量的时候，函数值只能趋近于同一个常数。一维情况下，左边趋近叫左极限，右边趋近叫右极限，左右极限存在且相等是极限存在的充要条件。
有界性：从定义加粗部分可知极限的唯一性和有界性。
保号性：极限的去心邻域内的函数值和极限同号。函数符号确定对应极限的符号就确定了。函数之间的大小关系确定了，对应极限的大小关系就确定了。
子列的极限和列的极限相同。

3、无穷小和等价无穷小

明确几个概念：
同阶无穷小：两个无穷小趋近于的速度相仿，比值为一个常数
等价无穷小：同阶无穷小的特殊情况，比值为1
高阶、低阶无穷小：趋近于零的速度快的相对于慢的称为高阶无穷小，反之为低阶无穷小

注意⚠️：

等价无穷小替换，只能替换乘除，不能替换加减
放在分母位置的无穷小不能等于0

熟记以下几个等价无穷小
1. x∼sin(x)∼tan(x)∼arcsin(x)∼arctan(x)x \sim sin(x) \sim tan(x) \sim arcsin(x) \sim arctan(x)x∼sin(x)∼tan(x)∼arcsin(x)∼arctan(x)
2. 1−cos(x)∼12x21-cos(x) \sim \frac{1}{2}x^21−cos(x)∼21x2
3. tan(x)−sin(x)∼12x3tan(x)-sin(x) \sim \frac{1}{2}x^3tan(x)−sin(x)∼21x3
4. 1+xn−1∼xn\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n}n1+x−1∼nx
5. ln(1+x)∼x∼ex−1ln(1+x) \sim x \sim e^x-1ln(1+x)∼x∼ex−1
会推导下列几个等价无穷小
1. arsinh(x)=ln(x+1+x2)∼xarsinh(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim xarsinh(x)=ln(x+1+x2)∼x
2. sin(x)−sin[sin(x)]∼x−sin(x)∼16xsin(x)-sin[sin(x)] \sim x-sin(x) \sim \frac{1}{6}xsin(x)−sin[sin(x)]∼x−sin(x)∼61x
3. arcsin(x)−x∼16x3arcsin(x)-x \sim \frac{1}{6}x^3arcsin(x)−x∼61x3
4. x−arctan(x)∼13x3x-arctan(x) \sim \frac{1}{3}x^3x−arctan(x)∼31x3

（三）连续

连续的三种定义、两类间断点
连续的性质：有界性、保号性、运算性质
介值定理、最值定理、根的存在性定理

1、定义

前提：讨论连续，都是在某点的邻域里讨论的，非去心邻域，所以函数在邻域U(x0)U(x_0)U(x0)一定要有定义

第一种：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)
第二种：∀ϵ>0,∃δ>0⇒当∣x−x0∣<δ,∣f(x)−f(x0)∣<ϵ恒成立\forall \epsilon > 0, \exists \delta>0 \Rightarrow 当 |x-x_0|<\delta, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon 恒成立∀ϵ>0,∃δ>0⇒当∣x−x0∣<δ,∣f(x)−f(x0)∣<ϵ恒成立
第三种：$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 $

注意：前两种定义，本质上是同一个定义，只是描述语言不一样；第三种定义，在后面学习微分理论的时候，很有意义

间断点:

链接为wiki百科，主要是受不了百度百科开头那个视频，每个词条都有视频，还自动播放，太恶心了