数学建模-Logistic模型

文章目录

Malthus模型
- 模型假设
- 建模与求解
- 模型评价
Logistic模型
- 模型假设
- 建模与求解
- 模型检验

为了更好地理解Logistic模型，我们先看看Malthus模型

Malthus模型

这是英国神父Malthus通过对一百多年人口统计资料的分析之后提出的人口模型假设

模型假设

设x(t)表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微.
人口的增长率r是常数(增长数=出生率-死亡率)
人口的数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率.

建模与求解

由假设，t时刻到t+△t时刻人口的增量为x(t+△)-x(t)=rx(t)△t.

所以得到

import sympy as sp
from sympy import  diff,dsolve,simplify
x=sp.symbols('x',cls=sp.Function)
t=sp.symbols('t')
r=sp.symbols('r')
eq=diff(x(t),t)-(r*x(t))
x=dsolve(eq)
print(simplify(x))

所以其解为：

x(t)=x0ertx(t)=x0e^rtx(t)=x0ert

模型评价

考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06×1093.06\times10^93.06×109,我们对人口自然增长率设置为2%.
so x(t)=3.06×109⋅e0.02(t−1961)x(t)=3.06\times10^9\cdot e^{0.02(t-1961)}x(t)=3.06×109⋅e0.02(t−1961)

这一模型符合1961年前的历史人口增长，但对于未来人口数量增长统计却存在一定的极端和不准确性，所以对于r是常数这个地方是值得商榷的.

Logistic模型

继上个模型，我们现在来对r进行修正，因为地球上的资源是有限的，所以随着人口数量的增加，自然资源和环境条件对于人口增长的限制作用将会逐渐显著.

所以，我们将r视为一个随着人口的增加而减小的量，即将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),且r(x)为x的减函数.

模型假设

设r(x)为x的线性函数，r(x)=r-sx(工程师原则，首先用线性).
自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数$\chi_m $ 即当χ=χm\chi=\chi_mχ=χm时，增长率r(χm\chi_mχm)=0.

建模与求解

由假设(1),(2)可得r(x)=r(1−χχm)r(x)=r(1-\frac{\chi}{\chi_m})r(x)=r(1−χmχ),则有

import sympy as sp
import math
from sympy import  diff,dsolve,simplify
x=sp.symbols('x',cls=sp.Function)
t=sp.symbols('t')
r=sp.symbols('r')
xm=sp.symbols('xm')
c1=sp.symbols('c1')
x0=sp.symbols('x0')
eq=diff(x(t),t)-r*(1-(x(t)/xm))*x(t)
x=dsolve(eq)
print(simplify(x))

求解方程得到 Eq(x(t),−xm/(exp(C1∗xm−r∗t)−1))Eq(x(t), -xm/(exp(C1*xm - r*t) - 1))Eq(x(t),−xm/(exp(C1∗xm−r∗t)−1))

其中因为C1较为复杂所以这里用python求解并不是一直好办法

我们直接用分离变量法求解得到x(t)

x(t)=xm1+(xmx0−1)e−r(t−t0)x(t)=\frac{xm}{1+(\frac{xm}{x0}-1)e^{-r(t-t0)}}x(t)=1+(x0xm−1)e−r(t−t0)xm

我们用pyplot来使得x(t)函数可视化

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
t=np.arange(1,200,0.5)
xm=14
x0=1 #防止除0错误
t0=1 #防止除0错误
r=0.02
plt.rc('font',size=16); plt.rc('font',family='SimHei')
y=xm/(1+(xm/x0-1)*pow(math.e,-r*(t-t0)))
plt.plot(t,y,'g',label='人口随时间的变化曲线')
plt.xlabel("时间序列")
plt.ylabel("人口数",rotation=0)
plt.legend()
plt.show()

可以看到用logistic模型解出的回归函数会更加科学

模型检验

d2xdt2=r2(1−xxm)(1−2xxm)x\frac{d^2x}{dt^2}=r^2(1-\frac{x}{xm})(1-\frac{2x}{xm})xdt2d2x=r2(1−xmx)(1−xm2x)x

所以人口总数x(t)有如下规律:

lim⁡t→+∞χ(t)=χm\lim_{t\rightarrow+\infty}{\chi(t)}=\chi_mlimt→+∞χ(t)=χm, 即无论人口初值 χ0\chi_0χ0 如何，人口总数以χm\chi _mχm为极限。
当0<χ0<χm0<\chi_0<\chi_m0<χ0<χm 时 dxdt=r(1−χχm)x>0\frac{d_x}{d_t}=r(1-\frac{\chi}{\chi_m})x>0dtdx=r(1−χmχ)x>0 ，这说明x(t)是单调增加的。
根据d2xdt2=r2(1−xxm)(1−2xxm)x\frac{d^2x}{dt^2}=r^2(1-\frac{x}{xm})(1-\frac{2x}{xm})xdt2d2x=r2(1−xmx)(1−xm2x)x
说明当x<xm2x<\frac{x_m}{2}x<2xm时，d2xdt2>0\frac{d^2x}{dt^2}>0dt2d2x>0 x=x(t)是一个凹函数

而当x<xm2x<\frac{x_m}{2}x<2xm的时候 d2xdt2<0\frac{d^2x}{dt^2}<0dt2d2x<0 x=x(t)是一个凸函数
人口变化率 dxdt\frac{d_x}{d_t}dtdx 在x=xm2x=\frac{x_m}{2}x=2xm时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，经过这一点以后，增长速率会逐渐变小，最终达到零。

以上的结论都可以从上面我画的曲线中直观地看出.