【数学建模常用模型】图论专题
图论是研究点、线间关系的一门学科。现实生活中，凡是涉及到事物间的关系，都可以抽象为图论模型。图论模型也是各大数学建模中常见的一种模型，主要用于计算、规划最短距离、路线等问题。下面介绍几个基本概念和算法。
单源最短路
单源最短路指的是构造网络中两点间的最短路就是找到连接这两个点的路径中所有边的权值之和为最小的通路。注意：在有向图中，通路中所有的弧应是首尾相连的。
单源最短路问题就是求从一个点出发，到网络其他各点的最短路求解单源最短路的常用算法是Dijkstra(迪杰斯特拉)算法，是由荷兰人Edsger Wybe Dijkstra给出。
求解思路——从始点出发，逐步顺序地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。
使用条件——网络中所有的弧权均非负。
Dijkstra算法
本算法由Dijkstra在1959年提出，可用于求解指定两点间的最短路，或从指定点到其余各点的最短路。目前被认为是求无负权网络最短路问题的最好方法。算法思路基于以下原理：
若序列{vs,v1,..,vn-1,vn}是从vs 到vn的最短路，则序列{vs,v1,..,vn-1}是从vs 到vn-1 的最短路。此算法采用标号法，可用两种标号：T 标号(试探性)与P 标号(永久性)。给vi 点一个P 标号表示从vs 到vi 点的最短路权，vi 点的标号不再改变。给vi 点一个T 标号时，表示从vs 到vi 的估计最短路的上界，是一种临时标号，凡没有得到P 标号的都有T 标号。
任意两点间距离
对于计算任意两点间距离的问题，弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，也是最常用的一种方法，它可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包，基本算法如下：
假设图G中顶点个数为N,d[i][j]=顶点i到j的权值；如果i和j不相邻，则d[i][j]=∞；path[i][j]=j，若d[i][j]=∞，path[i][j]=0。
• For k=1 to N:
• For i=1 to N:
• For j=1 to N:
• 如果d[i][j]的距离 >d[i][k]+d[k][j]，则
• d[i][j]=d[i][k]+d[k][j],path[i][j]=path[i][k]
最小生成树
最小生成树指的是无向图G的所有生成树中，边的权值总和最小的称为G的最小生成树，或最短树。
性质：假设一个图中存在最小生成树，并且该图具有n个节点，m条边，则该图的最小生成树一定是含有n个节点，并且具有n-1条边。
最小生成树的常用构造方法：
1. Kruskal算法：
每次选择一条最小且不会构成回路权边直至构成一个生成树。
2.Prim 算法：
从一个结点的子图开始构造生成树：选择连接当前子图和子图外结点的最小权边，将相应结点和边加入子图，直至将所有结点加入子图。
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