解析数论引论第2章数论函数和狄利克雷乘积

数内容看了3遍，都看懂了，发现习题从5以后居然都不会做

Exercises
1 根据(3)计算
(a) n=2^k
(b) n没有2作为因子
(c) 考虑p=2 3 5 7 11 13，因为17作为因子会导致φ\varphi大于等于16超过12
因子包含13
1 φ(13)=12\varphi(13)=12
因子包含11
1−111=10111-\frac 1 {11}=\frac {10}{11}不可以
因子包含7
2 φ(28)=12\varphi(28)=12
3 φ(21)=12\varphi(21)=12
因子包含5
没有
因子包含3
没有
因子包含2
没有
2
(a) counter example 7 and 11
(b) only counter example is 2
(c) counter example 15 and 21
φ(15)=8,φ(21)=12\varphi(15)=8,\varphi(21)=12
3 定理2.25的逆对乘性函数是成立的，nφ(n)\frac n{\varphi(n)}为乘性函数
f(n)=nϕ(n)f(n)=\frac n {\phi(n)}
fp(x)=1+∑pp−1xn=1+px(p−1)(1−x)f_p(x)=1+\sum \frac p{p-1}x^n=1+\frac {px}{(p-1)(1-x)}
g(n)=μ2(n)ϕ(n)g(n)=\frac {\mu^2(n)}{\phi(n)}
gp(x)=1+xp−1g_p(x)=1+\frac x{p-1}
gp(x)up(x)=1+px(p−1)(1−x)=fp(x)g_p(x)u_p(x)=1+\frac {px}{(p-1)(1-x)}=f_p(x)

4 要想φ(n)/n\varphi(n)/n尽量小，需要不同素因子尽量多；且素因子只有1次；且素因子尽量小，满足题目条件的最小φ(n)/n=1/2∗2/3∗...∗18/19=0.1701>1/6\varphi(n)/n=1/2*2/3*...*18/19=0.1701>1/6
5 ??
6

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