已知

∑i=2x[i∣x]=∑i=2y[i∣y]=1f(x)×f(y)=f(x×y),d(x)×d(y)=d(x×y)\sum_{i=2}^x[i|x]=\sum_{i=2}^y[i|y]=1\\ f(x)\times f(y)=f(x\times y),d(x)\times d(y)=d(x\times y) i=2∑x[i∣x]=i=2∑y[i∣y]=1f(x)×f(y)=f(x×y),d(x)×d(y)=d(x×y)

求证

(f×d)(x)×(f×d)(y)=(f×d)(xy)(f\times d)(x)\times(f\times d)(y)=(f\times d)(xy) (f×d)(x)×(f×d)(y)=(f×d)(xy)

解

证明
(f×d)(x)×(f×d)(y)=∑i∣xf(i)d(x÷i)×∑i∣yf(i)d(y÷i)=∑i∣xf(i)d(x÷i)∑j∣yf(j)d(y÷j)=∑i∣x∑j∣yf(ij)d(xy÷ij)=∑k∣xyf(k)d(xy÷k)//这里的k相当于上一个式子中的ij=(f×d)(xy)(f\times d)(x)\times(f\times d)(y)=\sum_{i|x}f(i)d(x\div i)\times \sum_{i|y}f(i)d(y\div i)\\ =\sum_{i|x}f(i)d(x\div i)\sum_{j|y}f(j)d(y\div j)\\ =\sum_{i|x}\sum_{j|y}f(ij)d(xy\div ij)\\ =\sum_{k|xy}f(k)d(xy\div k)\text{//这里的k相当于上一个式子中的ij}\\ =(f\times d)(xy)\\ (f×d)(x)×(f×d)(y)=i∣x∑f(i)d(x÷i)×i∣y∑f(i)d(y÷i)=i∣x∑f(i)d(x÷i)j∣y∑f(j)d(y÷j)=i∣x∑j∣y∑f(ij)d(xy÷ij)=k∣xy∑f(k)d(xy÷k)//这里的k相当于上一个式子中的ij=(f×d)(xy)
证毕

证明：两个积性函数的狄利克雷乘积为积性函数相关推荐

专题·莫比乌斯函数与欧拉函数【including 整除分块，积性函数，狄利克雷卷积，欧拉函数，莫比乌斯函数，莫比乌斯反演
初见安~又是好久没写博客了--加上CSP才炸了一波. 目录一.整除分块题解二.积性函数三.狄利克雷卷积四.欧拉函数五.莫比乌斯函数(mu) 六.莫比乌斯反演一.整除分块看个例题:洛谷P ...
狄利克雷卷积_积性函数和狄利克雷卷积小结
1.积性函数:对于函数$f(n)$,若满足对任意互质的数字a,b,a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$,那么称函数f为积性函数.显然f(1)=1. 2.狄利克雷卷积:对于函数f,g,定义它们的卷 ...
CCPC-2017 杭州站B丨HDU - 6265丨数论丨积性函数丨欧拉函数丨狄利克雷卷积丨思维变换
[参考博客]@WJHKDGHP ccpc2017杭州站 B [参考博客]@灬从此以后灬 2017 CCPC 杭州 HDU6265B 积性函数特别感谢以上两位博主,让我看懂了许多细节. 交题网址(HD ...
【算法讲7：积性函数（下）】⌈ 加性函数 ⌋ 与 ⌈ 积性函数 ⌋ 与 ⌈ 狄利克雷卷积 ⌋ 详细介绍
[算法讲7:积性函数(下)] 前置补充 ⌈\lceil⌈积性函数⌋\rfloor⌋ (乘性函数) 四个最基本的定义关于积性函数的基本性质性质一:f(1) 性质二:积性函数的各种传递性质三:整数 ...
（数论一）积性函数与狄利克雷卷积
今天做的一道题就是有关积性函数与狄利克雷卷积的,很懵逼.觉得有必要学一手了一. 积性函数是什么呢? 对于函数f,对于任意的a,b互质,都有: f(a * b) = f(a) * f(b) ...
【原创】积性函数和狄利克雷卷积学习笔记未完成
Index 狄利克雷卷积和积性函数〇.说在前面一.一些定义 1.数论函数 2.积性函数与完全积性函数 (1)定义 (2)举例 ①(普通)积性函数 ②完全积性函数 (3)性质二.狄利克雷卷积 1. ...
容斥原理与欧拉函数与莫比乌斯函数，狄利克雷卷积与莫比乌斯变换，反演
莫比乌斯函数可以看成是一种被内化了的容斥原理,许多数论上的结论定理根据容斥原理和数学归纳法可以推导出来,但是有关容斥原理的表达式的构造往往并不容易,运气不好很难找到,而莫比乌斯函数则是巧妙的把容斥原理 ...
人工智能数学基础：利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值、最值和描绘函数图形
一.单调性判断定理定理: 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导. (1)如果在(a,b)内f(x)≥0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加; ...
关于函数或者数列极限保号性的直觉理解(图解)
关于函数或者数列极限保号性的直觉理解(图解) 欢迎大家评论区指出问题或提出更严谨.有说服力的证明首先,贴一条很有感触的话: "保号性"的说法,是汉语微积分教学中,穿凿附会.虚张声 ...

证明：两个积性函数的狄利克雷乘积为积性函数

证明：两个积性函数的狄利克雷乘积为积性函数

已知

求证

解

证明：两个积性函数的狄利克雷乘积为积性函数相关推荐

最新文章

热门文章