常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程的形式：

dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=0(1)\frac{d^nx}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\frac{dx}{dt}+a_nx=0\tag{1}dtndnx+a1dtn−1dn−1x+⋯+an−1dtdx+anx=0(1)

特征方程为

F(λ)≡λn+a1λn−1+⋯+an−1λ+an=0(2)F(\lambda)\equiv\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n=0\tag{2}F(λ)≡λn+a1λn−1+⋯+an−1λ+an=0(2)

求解特征方程，得到特征根，下面对特征根的不同情况进行讨论

特征根是单根的情形

如果特征根都为实数，方程的通解为：

x=c1eλ1t+c2eλ2t+⋯+cneλnt(3)x=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_ne^{\lambda_nt}\tag{3}x=c1eλ1t+c2eλ2t+⋯+cneλnt(3)

如果特征根为复根，则复根会成对共轭的出现，设 λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+i\betaλ1=α+iβ, λ2=α−iβ\lambda_2=\alpha-i\betaλ2=α−iβ,则实值解为：
eαtcos⁡βt,eαtsin⁡βte^{\alpha t}\cos\beta t,\qquad e^{\alpha t}\sin\beta teαtcosβt,eαtsinβt

把（3）中的 eλ1te^{\lambda_1 t}eλ1t,eλ2te^{\lambda_2 t}eλ2t 换成 eαtcos⁡βt,eαtsin⁡βte^{\alpha t}\cos\beta t,e^{\alpha t}\sin\beta teαtcosβt,eαtsinβt，即可。

所以方程的通解为

x=c1eαtcos⁡βt+c2eαtsin⁡βt+⋯+cneλnt(4)x=c_1e^{\alpha t}\cos\beta t+c_2e^{\alpha t}\sin\beta t+\cdots+c_ne^{\lambda_n t}\tag{4}x=c1eαtcosβt+c2eαtsinβt+⋯+cneλnt(4)

特征根有重根的情形

λi\lambda_iλi 是 kik_iki 重根，则方程的通解为

x=c11eλ1t+c12teλ1t+c13t2eλ1t+⋯+c1,k1tk1−1eλ1t+c21eλ2t+c22teλ2t+c23t2eλ2t+⋯+c2,k2tk2−1eλ2t⋮\begin{aligned} x&=c_{11}e^{\lambda_1t}+c_{12}te^{\lambda_1t}+c_{13}t^2e^{\lambda_1t}+\cdots+c_{1,k_1}t^{k_1-1}e^{\lambda_1t}\\ &+c_{21}e^{\lambda_2t}+c_{22}te^{\lambda_2t}+c_{23}t^2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_{2,k_2}t^{k_2-1}e^{\lambda_2t}\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots\\\end{aligned}x=c11eλ1t+c12teλ1t+c13t2eλ1t+⋯+c1,k1tk1−1eλ1t+c21eλ2t+c22teλ2t+c23t2eλ2t+⋯+c2,k2tk2−1eλ2t⋮

如果存在复根,与上述讨论同理

常系数齐次线性微分方程的解法相关推荐

二阶常系数齐次线性微分方程的解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 y''+py'+qy = 0(其中p,q为常数)的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,求解步骤: (1)特征方程:λ2+pλ+q = 0; (2)根据特征方程的根 ...
常系数齐次线性微分方程
先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法,再把二阶方程的解法推广到n阶方程. 在二阶齐次线性微分方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′ ...
常系数齐次线性微分方程的解及其在求解微幅波控制方程中的运用
文章目录一.齐次线性微分方程及其求解 | 解的结构: | 例如: 二.常系数齐次线性微分方程及其求解 | 特征方程的解 (1)两个不同的实数根: (2)两个相同的实数根: (3)两个不同的共轭复数根 ...
7.7 常系数齐次线性微分方程
上一篇内容主要是线性微分方程的解的结构,本篇更偏重于实际的解题过程和方法. 本篇内容为常系数齐次线性微分方程的求解.关于常系数齐次线性微分方程的求解,我们主要总结的是二阶方程,对于二阶以上的部分,在篇 ...
三阶齐次线性方程求通解_阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
1 / 3 二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源:文都教育在考研数学中, 微分方程是一个重要的章节, 每年必考, 其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分, 它也是求解二阶常系数 ...
高等数学：第十二章微分方程（3）高阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程
§12.8 高阶线性微分方程一.二阶线性微分方程的引入 [例1]设有一弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为的物体.当物体处于静止状态时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反.这个位置就是物 ...
三阶齐次线性方程求通解_的三阶变系数齐次线性微分方程类型
文章编号:1007-9831(2007)02-0001-02 几种可降阶的三阶变系数齐次线性微分方程类型张敬,周莉 (齐齐哈尔大学理学院,黑龙江齐齐哈尔 161006) 摘要:讨论了三阶变系数 ...
【模板】BM + CH（线性递推式的求解，常系数齐次线性递推）
这里所有的内容都将有关于一个线性递推: $f_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{k} a_{i} * f_{n - i}$,其中$f_{0}, f_{1}, ... , f_{k ...
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
*本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的形式为: ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay′′+by′+ ...
高数知识复习--二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为: y"+py'+qy=0 (1-1) 其中p,q为常数. 以r^k代替上式中的y(k)(k=0,1,2) ,得一代数方程 r²+pr+q=0 这方程称为 ...

常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程的解法相关推荐

最新文章

热门文章