二阶常系数齐次线性微分方程的通解

*本文略去了很多证明，只记录结论
*文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：
ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay′′+by′+cy=0
由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为y1、y2y_1、y_2y1、y2，若y1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq Cy2y1̸=C(即两个解之比不为常数)，则y1、y2y_1、y_2y1、y2线性无关，那么微分方程的通解为：
y=C1y1+C2y2y = C_1y_1 + C_2y_2y=C1y1+C2y2

我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解：
对于微分方程：ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay′′+by′+cy=0

它的特征方程为：ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0ar2+br+c=0（微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂）

写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：
r1,2=−b±Δ2a，Δ=b2−4acr_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}， \Delta = b^2 - 4acr1,2=2a−b±Δ，Δ=b2−4ac
以下分情况讨论：
①当Δ>0\Delta > 0Δ>0时，r1、r2r_1、r_2r1、r2是两个不相等的实根r1=−b+Δ2a，r2=−b−Δ2ar_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}，r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}r1=2a−b+Δ，r2=2a−b−Δ

微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x
②当Δ=0\Delta = 0Δ=0时，r1、r2r_1、r_2r1、r2是两个相等的实根r1=r2=−b2ar_1 = r_2 = -\frac{b}{2a}r1=r2=−2ab

微分方程的通解为：y=C1er1x+C2xer2xy = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x}y=C1er1x+C2xer2x
③当Δ<0\Delta < 0Δ<0时，r1、r2r_1、r_2r1、r2是一对共轭复根r1=α+βi，r2=α−βir_1 = \alpha + \beta i， r_2 = \alpha - \beta ir1=α+βi，r2=α−βi其中α=−b2a，β=−Δ2a\alpha = -\frac{b}{2a}， \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}α=−2ab，β=2a−Δ

微分方程的通解为：y=eax(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

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