三阶齐次线性方程求通解_的三阶变系数齐次线性微分方程类型
文章编号：１００７－９８３１(２００７)０２－０００１－０２
几种可降阶的三阶变系数齐次
线性微分方程类型
张敬，周莉
(齐齐哈尔大学
理学院，黑龙江
齐齐哈尔 １６１００６)
摘要：讨论了三阶变系数齐次线性微分方程可降阶的
３
个充分条件，它是文献［１￣２］中相关结论的
改进和发展．
关键词：齐次线性微分方程；变系数；变换；降阶
中图分类号：Ｏ１７５．１
文献标识码：Ａ
１
引理
三阶变系数齐次线性微分方程虽没有统一适用的解法，
但降阶无疑会使该种微分方程的求解得到简化．
本文所讨论的三阶变系数齐次线性微分方程的标准形式为
0
)
(
)
(
)
(
=
+
′
+
′
′
+
′
′
′
y
x
r
y
x
q
y
x
p
y
(１)
其中
)
(
x
p
，
)
(
x
q
，
)
(
x
r
均为
x
的连续函数．
引理
１
三阶变系数齐次线性微分方程(１)经过变换
∫
=
x
x
x
z
x
y
d
)
(
e
)
(
)
(
ϕ
(其中
)
(
x
ϕ
为待定函数)
，可化
为微分方程
0
)
(
)
(
)
(
=
+
′
+
′
+
′
′
z
x
C
z
x
B
z
x
A
z
的充分条件是：
)
(
)
(
3
)
(
x
p
x
x
A
+
=
ϕ
，
+
+
′
=
)
(
3
)
(
3
)
(
2
x
x
x
B
ϕ
ϕ
)
(
)
(
)
(
2
x
q
x
x
p
+
ϕ
，
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
)
(
)
(
2
3
x
r
x
x
q
x
x
p
x
x
x
p
x
x
x
x
C
+
+
+
+
′
+
′
+
′
′
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
．
证明
由
∫
=
x
x
x
z
x
y
d
)
(
e
)
(
)
(
ϕ
，
有
∫
+
′
=
′
x
x
x
x
z
x
z
x
y
d
)
(
e
)]
(
)
(
)
(
[
)
(
ϕ
ϕ
，
+
+
′
+
′
′
=
′
′
)
(
[
)
(
)
(
2
)
(
{
)
(
2
x
x
z
x
x
z
x
y
ϕ
ϕ
∫
′
x
x
x
z
x
d
)
(
e
)}
(
)]
(
ϕ
ϕ
，
)}
(
)]
(
)
(
)
(
3
)
(
[
)
(
)]
(
3
)
(
3
[
)
(
)
(
3
)
(
{
)
(
3
2
x
z
x
x
x
x
x
z
x
x
x
z
x
x
z
x
y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
′
+
′
′
+
′
′
+
+
′
′
+
′
′
′
=
′
′
′
∫
x
x
d
)
(
e
ϕ
．
故微分方程(
１)
可化为
+
′
′
+
′
+
+
+
′
+
′
′
+
+
′
′
)
(
[
)
(
)]
(
)
(
)
(
2
)
(
3
)
(
3
[
)
(
)]
(
)
(
3
[
)
(
2
x
x
z
x
q
x
x
p
x
x
x
z
x
p
x
x
z
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
0
)
(
)]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
3
=
+
+
+
+
′
+
′
x
z
x
r
x
x
q
x
x
p
x
x
x
p
x
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
．
若
令
)
(
)
(
3
)
(
x
p
x
x
A
+
=
ϕ
，
)
(
)
(
)
(
2
)
(
3
)
(
3
)
(
2
x
q
x
x
p
x
x
x
B
+
+
+
′
=
ϕ
ϕ
ϕ
，
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
′
+
′
+
′
′
=
)
(
)
(
)
(
3
)
(
)
(
x
p
x
x
x
x
C
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
3
x
r
x
x
q
x
x
p
x
x
+
+
+
+
ϕ
ϕ
ϕ
，
则微分方程(１)可化为
0
)
(
)
(
)
(
=
+
′
+
′
+
′
′
z
x
C
z
x
B
z
x
A
z
．
证毕．
２
主要结果
定理
１
三阶变系数齐次线性微分方程(１)满足
)
(
2
)
(
x
p
x
q
′
=
，
)
(
)
(
x
p
x
r
′
=
，则可化为可降阶的微分
方程：
0
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
2
)
(
2
=
′
′
−
+
′
′
−
′
′
x
z
x
p
x
p
x
z
x
p
x
z
.
证明
由引理，
取
)
(
)
(
x
p
x
−
=
ϕ
，
则
)
(
)
(
x
p
x
′
−
=
′
ϕ
，
)
(
)
(
x
p
x
′
′
−
=
′
′
ϕ
，
有
)
(
2
)
(
x
p
x
A
−
=
，
+
′
−
=
)
(
3
)
(
x
p
x
B
)
(
)
(
2
x
q
x
p
+
，
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
x
r
x
p
x
q
x
p
x
p
x
p
x
C
+
−
′
+
′
′
−
=
．
若令
0
)
(
=
x
C
，则有
)
(
2
)
(
x
p
x
q
′
=
，
)
(
)
(
x
p
x
r
′
=
，且
)
(
)
(
)
(
2
x
p
x
p
x
B
′
−
=
，因此，若微分方程(１)满
足定理条件，则可通过变换
∫
=
x
x
p
x
z
x
y
d
)
(
e
)
(
)
(
化为可降阶的微分方程：
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
2
)
(
2
x
p
x
p
x
z
x
p
x
z
′
−
+
′
′
−
′
′
0
)
(
=
′
x
z
． 证毕．
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