Cholesky分解
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Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线性代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积(那实数界来类比的话,此分解就好像求平方根)。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较,Cholesky分解效率很高。Cholesky是生于19世纪末的法国数学家,曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。后来,Cholesky参加了法国军队,不久在一战初始阵亡。
一、Cholesky分解的条件
1、Hermitianmatrix:矩阵中的元素共轭对称(复数域的定义,类比于实数对称矩阵)。Hermitiank意味着对于任意向量x和y,(x*)Ay共轭相等
2、Positive-definite:正定(矩阵域,类比于正实数的一种定义)。正定矩阵A意味着,对于任何向量x,(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)
二、Cholesky分解的形式
可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。
可以证明,只要A满足以上两个条件,L是唯一确定的,而且L的对角元素肯定是正数。反过来也对,即存在L把A分解的话,A满足以上两个条件。
如果A是半正定的(semi-definite),也可以分解,不过这时候L就不唯一了。
特别的,如果A是实数对称矩阵,那么L的元素肯定也是实数。
另外,满足以上两个条件意味着A矩阵的特征值都为正实数,因为Ax = lamda * x,
(x*)Ax = lamda * (x*)x > 0, lamda > 0
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