1 介绍

当一个实矩阵A是对称正定矩阵的时候，它可以分解成一个下三角矩阵L以及它的转置 $L^T$ 的乘积，即：

1.1 矩阵半正定的情况

如果矩阵是正定的话，那么L唯一确定；如果矩阵是半正定的话，那么也可以分解，不过此时L不唯一。

2 举例

3 使用 scipy.linalg.cholesky求解

3.1 用法

scipy.linalg.cholesky(a, lower=False, overwrite_a=False, check_finite=True)

返回值：c：(M，M)ndarray，表示a的上三角或下三角Cholesky因子。

3.2 参数介绍

a	(M, M) array_like 待分解的矩阵
lower	bool, 可选参数是计算上三角Cholesky还是下三角Cholesky分解。默认值为upper-triangular
overwrite_a	bool, 可选参数是否覆盖a中的数据(可能会提高性能)
check_finite	bool, 可选参数是否检查输入矩阵仅包含有限数。禁用可能会提高性能，但是如果输入中确实包含无穷大或NaN，则会导致问题(崩溃，终止)。

3.3 用法举例

import numpy as np
from scipy import linalga = np.array([[4, 12, -16],[12, 37, -43],[-16, -43, 98]])
L_lower = linalg.cholesky(a, lower=True)
# 默认计算 upper， 所以指定 lower = True
L_upper = linalg.cholesky(a)
print(L_lower,'\n',L_upper)
'''
[[ 2.  0.  0.][ 6.  1.  0.][-8.  5.  3.]] [[ 2.  6. -8.][ 0.  1.  5.][ 0.  0.  3.]]
'''
print(L_lower @ L_upper)
'''
[[  4.  12. -16.][ 12.  37. -43.][-16. -43.  98.]]
'''

4 平方根法求L

我们假设矩阵A可以分解成

$LL^T$ 的结果为：

$\begin{bmatrix} l_{11}l_{11} & l_{11}l_{21}& l_{11}l_{31}& \dots& l_{11}l_{n1}\\ l_{21}l_{11} & l_{21}l_{21}+ l_{22}l_{22}& l_{21}l_{31}+ l_{22}l_{32}&\dots & l_{21}l_{n1}+ l_{22}l_{n2}\\ l_{31}l_{11} & l_{31}l_{21}+ l_{32}l_{22}& l_{31}l_{31}+ l_{32}l_{32}+ l_{33}l_{33}& \dots& l_{31}l_{n1}+ l_{32}l_{n2}+ l_{33}l_{n3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1}l_{11} & l_{n1}l_{21}+ l_{n2}l_{22}& l_{n1}l_{31}+ l_{n2}l_{32}+ l_{n3}l_{33} & \dots & l_{n1}l_{n1}+ l_{n2}l_{n2}+ l_{n3}l_{n3}+\dots+ l_{nn}l_{nn} \end{bmatrix}$

首先我们看第一个元素：
然后我们看第一列的其他元素：
之后，我们假设已经算出了L矩阵的前k-1列元素
- 通过 $a_{kk}=\sum_{i=1}^k l_{ki}^2=\sum_{i=1}^{k-1} l_{ki}^2+l_{kk}^2$ ，可以得到：
- 进一步再由，可以得到：
于是我们可以通过以上方式迭代求得L

5 在计算机编程中 Cholesky分解的作用

在计算机程序中常常用到这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。用矩阵A一半的存储空间，就可以表达A的全部信息

参考资料

数学之美：cholesky矩阵分解_BigCowPeking-CSDN博客_cholesky分解

Cholesky分解 - 知乎 (zhihu.com)

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