C++实现Cholesky分解

题目：
编制程序求解矩阵 A 的 Cholesky 分解，并用程序求解方程组 Ax=b，其中

代码实现：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <iomanip>
using namespace std;
//Cholesky 分解
void Cholesky(double a[4][4], double L[4][4], int m, int n) {for (int j = 0; j < n; j++)for (int i = j; i < m; i++) {if (i == j) {double sum = 0;for (int k = 0; k < j; k++) {sum = sum + L[j][k] * L[j][k];
}L[i][j] = sqrt(a[i][j] - sum);
}else {double sum = 0;for (int k = 0; k < j; k++) {sum = sum + L[i][k] * L[j][k];
}L[i][j] = (a[i][j] - sum) / L[j][j];
}
}
}
//初始化矩阵 L
void InitL(double L[4][4], int m, int n) {for (int i = 0; i < m; i++)for (int j = 0; j < n; j++) {if (i < j) {L[i][j] = 0;
}
}
}
//显示 L 和 LT 矩阵
void Display(double L[4][4], double LT[4][4], int m, int n) {cout << "Cholesky 分解的 L 矩阵为：" << endl;for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {cout << setprecision(8) << setw(12) << L[i][j] << "";
}cout << endl;
}cout << "Cholesky 分解的 LT 矩阵为：" << endl;for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {cout << setprecision(8) << setw(12) << L[j][i] << "";LT[i][j] = L[j][i];
}cout << endl;
}
}
//Ax=b 的解答 中间步骤求 y
double* SolveOne(double L[4][4], double b[4], int m, int n) {static double y[4];y[0] = b[0] / L[0][0];for (int i = 1; i < m; i++) {double sum = 0;for (int k = 0; k < i; k++) {sum = sum + L[i][k] * y[k];
}y[i] = (b[i] - sum) / L[i][i];
}cout << "解答的中间结果 y 为：" << endl;for (int i = 0; i < m; i++) {cout << setprecision(8) << setw(12) << y[i] << endl;
}cout << endl;return y;
}
//Ax=b 的解答 最终结果
void SolveTwo(double L[4][4], double y[4], int m, int n) {double x[4];x[m - 1] = y[m - 1] / L[n - 1][n - 1];for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {double sum = 0;for (int k = i + 1; k < m; k++) {sum = sum + L[k][i] * x[k];
}x[i] = (y[i] - sum) / L[i][i];
}cout << "解答的最终结果 x 为：" << endl;for (int i = 0; i < m; i++) {cout << setprecision(8) << setw(12) << x[i] << endl;
}cout << endl;
}
//主函数
int main() {double a[4][4] = { {2,1,-1,1},{1,5,2,7},{-1,2,10,1},{1,7,1,11} };double b[4] = { 13,-9,6,0 };double L[4][4];//L 矩阵double LT[4][4];//LT 矩阵double* y;//中间矩阵 yInitL(L, 4, 4);//初始化矩阵 LCholesky(a, L, 4, 4);//Cholesky 分解矩阵 ADisplay(L, LT, 4, 4);//显示矩阵 L 和 LT//求解原方程 Ax=b 中间步骤：L*y = b; LT*x = y;y = SolveOne(L, b, 4, 4);SolveTwo(L, y, 4, 4);return 0;
}

数值结果：

分析：
首先对 A 矩阵进行 Cholesky 分解，得到 L 矩阵，然后通过中间矩阵 y 求解矩阵 x。

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