【动态规划】三种基本背包问题

动态规划 是对解最优化问题的一种途径它往往是针对一种最优化问题根据问题的不同性质确定不同的设计方法
因为这篇文章我想说点关于背包问题的事情所以不再过多介绍动态规划
背包问题 是动态规划中的一个经典题型在联赛中也经常出现其基本问题主要分为01 完全多重三种
下面就通过程序与例题分别来说一下三种基本问题

01背包

有n件物品和容量为m的背包给出i件物品的重量以及价值求解让装入背包的物品重量不超过背包容量且价值最大
特点这是最简单的背包问题特点是每个物品只有一件供你选择放还是不放

对于这个问题一般有两种解法下面分别来介绍一下

① 二维解法
设f[i][j]表示前i件物品总重量不超过j的最大价值可得出状态转移方程
f[i][j]=max{f[i-1][j-a[i]]+b[i],f[i-1][j]}

或许到这里大家对这个方程还不是那么熟悉，我们便通过一个实例来走一遍：

物品件数ｎ＝４，背包容量ｍ＝８

物品编号	1	2	3	4
w(体积)	２	３	４	５
v（价值)	３	４	５	６

初始化：

总表:

现在挑几个典型的说一下这个表是怎么更新的：
点(i=2,j=3):这时有两个物品可以放入，背包容量为３，此时我们面临一个抉择，放还是不放第二件物品，我们看一下，上一状态，也就是只有一件物品或者说我们不放这件物品时的最大价值(i=1,j=3)为３，再看一下如果我们放这件物品的最大价值,(此时空间明显不足以同时放入这两件物品，我们如果放这件物品总得给它留出足够的空间吧，所以我们计算一下当给他留出足够空间时，空间还剩多少，此时背包的最大价值是多少)(i=1,j=3-3=0)为０（也就是说此时我如果想放入第二件物品的话，就得把第一件物品拿出来，拿出来后背包价值是０），再把第二件物品放进去，此时背包价值为４，我们比较一下这两个状态，如果不放第二件物品背包价值为３，放第二件物品背包价值为４，我们当然选择翻入第二件物品。
如果这个点还是不太明白我们再试一个点，算法是一样的
点(i=3,j=7):这时有三个物品可以放入，背包容量为７，我们面临一个抉择，放还是不放第三个物品，

这个地方我一开始有点迷，点（i=3,j=6）的时候我已经把第三个物品放进去了，那还这个点我还
看放不放他干啥，这时候不还得判断是不是得扔哪个物品吗？是不是有点傻？这时候我们的上一状
态是背包容量为ｊ时，有两个物品可放的最大价值，可以说ｉ相等时，每个点都是独立的，互不相
关，所以此时我们比较的是(i=2,j=7)这个点，要看的是，当有二个物品可以放入，背包容量为７
时再放入第三个物品能不能使背包的价值更大。

我们看一下，上一状态，也就是只有一件物品或者说我们不放这件物品时的最大价值(i=２,j=７)为７，再看一下如果我们放这件物品的最大价值,(此时空间明显不足以同时放入这两件物品，我们如果放这件物品总得给它留出足够的空间吧，所以我们计算一下当给他留出足够空间时，空间还剩多少，此时背包的最大价值是多少)(i=２,j=７-４=３)为４（（重点理解！！！）也就是说要想放入第三个物品得给给他让出ｖ[3]＝４的容量，此时背包容量还剩３，我们可以知道，背包容量为３时背包最大价值为（i=2,j=3）＝４），再把第三件物品放进去，此时背包价值为４＋５=9，我们比较一下这两个状态，如果不放第三件物品背包价值为7，放第二件物品背包价值为9，我们当然选择翻入第三件物品。

代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int m,n;cin>>n>>m;int a[50001],b[50001];int f[5001][5001];for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>0;j--){if(a[i]<=j)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+b[i]);else f[i][j]=f[i-1][j];}cout<<f[n][m]<<endl; //最优解//COYG
}

虽然“原理”没有错但是f数组开的太大 (一般应该5000就顶头了)
在一些情况下题目的数据会很大因此f数组不开到一定程度是没有办法ac的那么该怎么办呢于是

②一维解法
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值可得出状态转移方程

fj=maxj{fj,f[j−a[i]]+b[i]}fj=maxj{fj,f[j−a[i]]+b[i]}

代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;int a[50001],b[50001];          for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];int f[50001]={0};for(int i=1;i<=n;i++){       for(int j=m;j>=a[i];j--)if(f[j-a[i]]+b[i]>f[j])f[j]=f[j-a[i]]+b[i];  }cout<<f[m]<<endl;   //最优解//COYG
}

这样用一维数组代替二维数组就解决了很多问题所以用一维数组解决01背包是很重要的

01背包的例题有：[USACO07DEC]手链Charm Bracelet(洛谷搜索 P2871) 采药(洛谷搜索 P1048) [Noip普及组2001]装箱问题(洛谷搜索 P1049)

完全背包

有n件物品和容量为m的背包给出i件物品的重量以及价值求解让装入背包的物品重量不超过背包容量且价值最大
特点题干看似与01一样但它的特点是每个物品可以无限选用

其实这个题也可以写二维和一维两种但之前已经说过了二维的有一定局限所以在此之介绍一维
一维
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值可得出状态转移方程

fj=maxj{fj,f[j−a[i]]+b[i]}fj=maxj{fj,f[j−a[i]]+b[i]}

代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;int a[50001],b[50001];int f[50001]={0};for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i]>>b[i];}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=a[i];j<=m;j++){if(f[j-a[i]]+b[i]>f[j])f[j]=f[j-a[i]]+b[i];}cout<<f[m]<<endl;//最优解//COYG
}

大家有没有感觉代码很熟悉？每错一维完全背包的代码与一维01背包的代码只在循环上有些差别而且状态转移方程也一样

例题可以百度搜索收益(也叫投资)
算了好人做到底我还是ctrl+v一下题目吧
【题目描述】收益 (POJ 2063)
“建太空梯进入太空要1兆亿？”魔法学院的院长瞪大了眼睛。
“这只是基础设施的费用，后期还要……”墨老师掰着手指算。
“哎呀，现在地主也很穷啊，学院的钱批下来就这么多，你想办法用这笔钱在债券市场上获得最大收益吧。”院长皱着眉头。
简单来说，就是你有一笔钱，你要将这笔钱去投资债券，现在有d种债券，每种债券都有一个价值和年收益，债券的价值是1000的倍数，问你如何投资在n年后的获得最大收益。
【输入格式】
第一个为一个整数M，表示有M组数据。
每组数据第一行有两个整数，表示初始资金(不超过50000)和年数n。
每组数据第二行为一个整数d(1 ≤ d≤10)，表示债券种类。
随后d行每行有两个整数，表示该债券的价值和年收益。年收益不会超过债券价值的10%。
所有数据不超过整型取值范围。
【输出格式】
每组数据，输出n年后获得的最大收益。
【输入样例】
1
10000 4
2
4000 400
3000 250
【输出样例】
14050

贴一下我这个题的代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{int m,y,n,d,ans=0,a[100001],b[100001];int f[100001]={0}; cin>>m;while(m--){cin>>y>>n;cin>>d;for(int i=1;i<=d;i++){cin>>a[i]>>b[i];}for(int o=1;o<=n;o++){for(int i=1;i<=d;i++)for(int j=a[i];j<=y;j++){f[j]=max(f[j-a[i]]+b[i],f[j]);}y+=f[y]; //每次都要累计memset(f,0,sizeof(f));}cout<<y<<endl;}return 0;
} //小蒟蒻代码丑
//COYG

多重背包

有n件物品和容量为m的背包给出i件物品的重量以及价值还有数量求解让装入背包的物品重量不超过背包容量且价值最大
特点它与完全背包有类似点特点是每个物品都有了一定的数量

状态转移方程为：

f[j]=max{f[j],f[j−k∗a[i]]+k∗b[i]}f[j]=max{f[j],f[j−k∗a[i]]+k∗b[i]}

【输入样例】
8 2
2 100 4
4 100 2
【输出样例】
400

代码如下

#include<iostream>using namespace std;
int main()
{int m,n;cin>>m>>n;int a[10001],b[10001],c[10001];for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];}int f[10001];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=0;j--)for(int k=0;k<=c[i];k++){if(j-k*a[i]<0)break;f[j]=max(f[j],f[j-k*a[i]]+k*b[i]);}cout<<f[m]<<endl;//最优解
}