使用 uBLAS 进行实对称正定矩阵的 Cholesky 分解

Cholesky 分解理论

矩阵分解——三角分解（Cholesky 分解）
矩阵分解——三角分解（二）

注：只有实对称矩阵才有 Cholesky 分解理论。

已知实对称正定矩阵 AA，其 Cholesky 分解形式为：A=LLTA=LL^T，LL 为下三角矩阵，计算 L=(ℓij)L=(\ell_{ij}) 的递推公式为：

ℓij=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝aij−∑k=1j−1ℓ2ik⎞⎠1/2,1ℓjj⎛⎝aij−∑k=1j−1ℓikℓjk⎞⎠,0,i=ji>ji<j

\ell_{ij}=\left \{ \begin{array}{ll} \left (a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}^2\right )^{1/2},&i=j\\ \frac1{\ell_{jj}}\left ( a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}\ell_{jk}\right ),&i>j\\ 0,&i

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uBLAS——Boost 线性代数基础程序库
uBLAS——Boost 线性代数基础程序库（二）

（1）内积

ublas::inner_prod()
（2）矩阵切片——取出矩阵的行

ublas::row()
（3）向量切片——取出向量的部分元素

ublas::range()

C++ 实现

void chol(const ublas::symmetric_matrix<double>& A, ublas::triangular_matrix<double>& L)
{for (unsigned i = 0; i < A.size1(); ++i){for (unsigned j = 0; j <= i; ++j){if (i == j)L(i, i) = std::pow(A(i, i) - ublas::inner_prod(ublas::project(ublas::row(L, i), ublas::range(0, i)),ublas::project(ublas::row(L, i), ublas::range(0, i))), 1. / 2);L(i, j) = (A(i, j) - ublas::inner_prod(ublas::project(ublas::row(L, i), ublas::range(0, j)),ublas::project(ublas::row(L, j), ublas::range(0, j)))) / L(j, j);}}
}

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