最近考完两个小quiz，停了一段时间，今晚抽空继续来分享这门课的笔记。

1.前言

上一期分享了Cholesky分解的基本步骤和伪代码，本期介绍另外一种矩阵分解的方法——LDL分解。

首先补充一下，近几期的矩阵分解主要是针对协方差矩阵

以及某些特殊的协方差矩阵，例如Toeplitz矩阵

形如上式的矩阵被称为Toeplitz矩阵或者Toeplitz形式。之前在弱平稳的定义中，提到协方差矩阵要求不随着时间变化而只与时间间隔相关，而这一条件等价于时间序列具有Toeplitz形式的协方差矩阵，此外在协方差平稳以及二阶平稳也使用了协方差矩阵为Toeplitz形式的假定。

上一期介绍的Cholesky分解，用来分解一般的协方差矩阵的时间为

，而对于Teoplitz形式的矩阵，我们采用某些特定的算法（例如下期将介绍的Levinson-Durbin分解），能够实现时间
的分解。此外，Teoplitz矩阵与一列向量的乘积，也可以用来计算线性卷积。Toeplitz形式还有众多良好的性质，这里不一一介绍（主要是目前不会）

2.LDL分解

言归正传，LDL分解避免了Cholesky分解的迭代运算中的开平方运算，能够将协方差矩阵分解为

，其中
为主对角线元素全为1的下三角矩阵，
为对角矩阵。

其算法步骤和cholesky分解类似，也是通过迭代法求解。本文沿用上期 cholesky分解中的4*4矩阵的例子，展示如何通过迭代进行LDL分解：假设我们已经递归到

和
，即
，现在我们来完成迭代的最后一步

我们通过下式便能解出

和
，从而得到
和

写成伪代码的形式，即

输入：协方差矩阵

返回

和

本期笔记不长，先分享到这里，祝各位周末愉快。下一期将分享能够在

分解Toeplitz矩阵的Levinson-Durbin分解。

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