7.6.1 用顶点表示活动的网络AOV

问题的提出

学生选修课程问题

顶点，表示课程
有向弧，表示先决条件，若课程i是课程j的先决条件，则图中有弧<i，j>
学生应按怎样的顺序学习这些课程，才能无矛盾、顺利地完成学业——拓扑排序

拓扑排序算法

存储结构

AOV网络：邻接表
辅助变量：顶点入度数组InDegree[ ]，记录各个顶点的入度

算法步骤

（1）建立入度为零的顶点栈；
（2）当入度为零的顶点栈为空时算法转步骤（6)，否则继续步骤（3)；
（3）入度为零的顶点栈中栈顶元素v出栈，并输出顶点v；
（4）从AOV网络中删去顶点v和所有从顶点v发出的弧<v , j >，并将顶点j的入度减一；
（5）如果顶点 j 入度减至0，则将该顶点进入入度为零的顶点栈；转步骤(2)；
（6）如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数，则输出网络中存在有向环的信息；算法结束。

算法实现

边节点类

template<class arcType> class ArcNode
{public:int vex;ArcNode<arcType> *nextarc;ArcNode(){nextarc=NULL;}ArcNode(int v,ArcNode<arcType> *next=NULL){vex=v;nextarc=next;}
};

顶点节点类

#include "ArcNode.h"
template<class vertexType,class ArcType> class VertexNode
{public:vertexType vertex;ArcNode<ArcType> *arcs;VertexNode(){arcs=NULL;}VertexNode(vertexType v){vertex=v;arcs=NULL;}
};

拓朴排序特殊邻接表（删除一些不必操作）实现

#define MaxVertexes 20
#include <iostream>
#include "VertexNode.h"
#include "ArcNode.h"using namespace std;template<class vertexType,class arcType> class VertexNode;
template<class arcType> class ArcNode;class Graph
{friend class VertexNode<int,int>;friend class ArcNode<int>;
private:VertexNode<int,int> *VertexesTable;int *InDegree;int CurrentNumVertexes;int CurrentNumArcs;//int GetVertexPos(const int &v);void Clear();public:Graph(int v[],int num=MaxVertexes);~Graph();void InsertVertex(int v);void InsertArc(int head,int tail);void Show()const;void TopologicalOrder();};
int Graph::GetVertexPos(const int &v)
{int i;for(i=0; i<CurrentNumVertexes && VertexesTable[i].vertex!=v; i++);if(i>=CurrentNumVertexes){cout<<"没有顶点的值为 "<<v<<" ，返回-1"<<endl;i=-1;}elsereturn i;
}
void Graph::InsertVertex(int v)
{int i;for(i=0; i<MaxVertexes; i++)if(VertexesTable[i].vertex==-1){VertexesTable[i].vertex=v;InDegree[i]=0;CurrentNumVertexes++;break;}if(i>=MaxVertexes){cout<<"顶点已满。"<<endl;}return;
}
void Graph::InsertArc(int head,int tail)
{if(VertexesTable[head].arcs==NULL){VertexesTable[head].arcs=new ArcNode<int>(tail);InDegree[tail]++;return;}ArcNode<int> *p=VertexesTable[head].arcs,*q=NULL;while(p!=NULL){if(p->vex==tail){cout<<"该顶点已在表中 "<<endl;return;}else{q=p;p=p->nextarc;}}q->nextarc=new ArcNode<int>(tail);CurrentNumArcs++;InDegree[tail]++;
}
Graph::Graph(int v[],int num):CurrentNumVertexes(0),CurrentNumArcs(0)
{int i;VertexesTable=new VertexNode<int,int>[MaxVertexes];InDegree=new int[MaxVertexes];for(i=0; i<MaxVertexes; i++) //初始化{VertexesTable[i].vertex=-1;InDegree[i]=0;}for(i=0; i<num; i++) //输入各顶点信息InsertVertex(v[i]);
}
void Graph::Clear()
{int i;ArcNode<int> *p=NULL,*q=NULL;for(i=0; i<CurrentNumVertexes; i++){p=VertexesTable[i].arcs;while(p!=NULL){q=p->nextarc;delete p;p=q;}p=NULL;q=NULL;VertexesTable[i].arcs=NULL;InDegree[i]=0;}CurrentNumArcs=0;CurrentNumVertexes=0;
}
Graph::~Graph()
{Clear();delete [] InDegree;delete [] VertexesTable;InDegree=NULL;VertexesTable=NULL;
}
void Graph::Show()const
{int i;ArcNode<int> *p=NULL;for(i=0; i<CurrentNumVertexes; i++){cout<<"第"<<i<<"个顶点（"<<VertexesTable[i].vertex<<"）,有边：";p=VertexesTable[i].arcs;while(p!=NULL){cout<<p->vex<<" -- ";p=p->nextarc;}cout<<"# ,入度为"<<InDegree[i]<<endl;}
}

拓扑算法

void Graph::TopologicalOrder()
{int i,j,count=0,top=-1;ArcNode<int> *p=NULL;for(i=0; i<CurrentNumVertexes; i++){if(InDegree[i]==0)///入度为0的顶点入栈{InDegree[i]=top;top=i;}}while(top!=-1)///栈非空{i=top;top=InDegree[i];cout<<VertexesTable[i].vertex<<" -- ";count++;///定点输出计数for(p=VertexesTable[i].arcs; p!=NULL; p=p->nextarc){j=p->vex;InDegree[j]--;if(InDegree[j]==0)//j入度为0，入栈{InDegree[j]=top;top=j;}}}cout<<"#"<<endl;if(count<CurrentNumVertexes)//有回路cout<<"图中有回路"<<endl;
}

测试结果：

效率分析

设AOV网络中有n个顶点和e条边，算法的第一个 for循环是搜索入度为零的顶点建立链栈，其所需要的时间是O(n)。
在拓扑排序的过程中，如果网络中没有回路，则网络中所有顶点都需要进一次栈，出一次栈，所需要的时向也是O(n)。顶点入度减1的运算共执行了e次。
所以拓扑排序算法的时间复杂度为O(n+e)。

思考：

如何记录入度为0的顶点？采用什么结构/辅助手段比较好?
【方法一】直接使用一个数组作为静态栈，栈的使用方式如下：
（1）初始化栈，设置链初始值top为-1（表示空栈）；
（2）将入度为0的元素的进栈，即InDegree[v]=top;top=v;（当前节点入度值来保存前一个结点，用top指向最后进入的结点）
（3）顶点入栈的同时“删除”前一个的出边（度数减一）。如果度数为0，继续压栈。
（4）栈空top=-1，结束程序。判断是否有回路。
【方法二】使用栈实现
转载自：https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80443778

void toposort()
{priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;//当要求编号小的优先输出时用优先队列存储点for(int i=1;i<=n;i++)if(!num[i])q.push(i);int len=0;while(!q.empty()){int u=q.top();q.pop();ans[len++]=u;for(int i=0;i<v[u].size();i++){int t=v[u][i];num[t]--;if(!num[t])q.push(t);}}cout<<ans[0];for(int i=1;i<len;i++)cout<<" "<<ans[i];cout<<endl;
}

【方法三】使用队列实现
转载自：https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9129325.html

#include<cstdio>
#include<cstring>
int ans[510][510];///邻接矩阵，记录二者是否有关联
int n,indegree[510];///记录节点个数
int queue[510];///保存拓扑
void topsort()
{int i,j,top,k=0;for(j=0; j<n; ++j)///遍历n次{for(i=1; i<=n; ++i){if(indegree[i]==0)///找到入度为0的节点{top=i;break;}}queue[k++]=top;///当前第一名入队列，也可以直接输出indegree[top]=-1;///该节点的入度更新为-1，避免重复入队列for(i=1; i<=n; ++i){if(ans[top][i])///删除与该店关联的边indegree[i]--;}}for(i=0; i<k-1; ++i)printf("%d ",queue[i]);printf("%d\n",queue[n-1]);
}int main()
{int i,a,b,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){memset(indegree,0,sizeof(indegree));///数组初始化为0memset(ans,0,sizeof(ans));///数组初始化为0for(i=0; i<m; ++i){scanf("%d%d",&a,&b);if(ans[a][b]==0){ans[a][b]=1;///二者有关联indegree[b]++;///记录前驱数量}}topsort();}return 0;
}

可以采用队列来存储入度为0的顶点的原因? 在算法执行过程中，如果同时存在多个入度为0
的顶点，则首先选择删除哪个顶点不会影响算法的正确性。所以，在拓扑排序算法中，可以使用队列或栈来存储入度为0的顶点。
以上转自：https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9876395.html

2. 理论上删去顶点的所有出边，实际的工程实现中是否真的删除边?如何处理?
利用度数数组减一。
3. 当有多个入度为0的顶点时，能否同时将它们记录下来并形成一种线性关系?采用什么结构/辅助手段比较好?
也是用链式栈记录前驱。

如果有向图的拓扑排序序列是唯一的，则图中必定只有一个顶点的入度为0，一个顶点的出度为0。（错）
只有一个顶点的入度为0，一个顶点的出度为0，不一定能得出唯一的拓扑排序。这是必要条件而不是充分条件。

其他资料转载

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Floyed+拓扑排序: 洛谷P2419 USACO08JANCow Contest S.
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真·拓扑排序 : 洛谷P1347 排序.
以上转载自：https://blog.csdn.net/Berserker____/article/details/106733772
拓扑排序与BFS
（1）拓扑排序与 BFS 算法的对比分析
与用邻接表实现 BFS 算法的伪代码相比，拓扑排序与其有相似之处也有不同之处。
相同点：拓扑排序实质上就是一种广度优先搜索，在算法执行过程中，通过栈顶顶点访问它的每个邻接点，整个算法执行过程中，每个顶点访问一次且仅一次，每条边扫描一次且仅一次。
不同点：BFS 算法在扫描每条边时，如果边的终点没有访问过，则入队列；而拓扑排序算法在扫描每条边时，终点的入度要减 1，当减至 0 时才将该终点入栈。
（2）拓扑排序与 BFS 算法栈或队列的使用
请注意，在BFS 算法中是用队列来存储待扩展的顶点，在拓扑排序算法中是用栈来存储入度为 0 的顶点。那么，在 BFS 算法中是否可以用栈来存储待扩展的顶点？在拓扑排序算法中是否可以用队列来存储入度为 0 的顶点？队列和栈的区别在于顶点出队列（或栈）的顺序，队列是先进先出，栈是后进先出。所以，能否用队列（或栈）关键要看这种顺序是否会影响算法的正确性。
BFS 算法：如果用栈存储待扩展的顶点，如图所示，其中图(a)为正确的搜索过程，图(b)为用栈存储待扩展顶点时各顶点入栈和出栈的过程。在图(b)中，依次出栈的顶点是 A→E→D→F→H→I→B→C→G，很明显，这与 BFS 算法的实现过程和顶点访问顺序大相径庭。因此，在 BFS算法中不能用栈来存储待扩展的顶点。
以上转载自：https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9876395.html

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