本文是 2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案 中的小题解答。

▌第五题

5. 设 f(t)f\left( t \right)f(t)为 [−π,π]\left[ { - \pi ,\pi } \right][−π,π]上的光滑函数，满足：

f(−π)=f(π)f\left( { - \pi } \right) = f\left( \pi \right)f(−π)=f(π)

且an,bna_n ,b_nan,bn为f(t)f\left( t \right)f(t)的傅里叶系数， an′,bn′a'_n ,b'_nan′,bn′为f(t)f\left( t \right)f(t)的导数f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的福利也悉数，证明：

a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)a'_0 = 0,\,\,a'_n = nb_n ,\,\,b'_n = - na_n ,\,\,\left( {n = 1,2, \cdots } \right)a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)

※ 本题为思考题

※ 求解：

f(t)=a0+∑n=1∞ancos⁡(nω1t)+bnsin⁡(nω1t)f\left( t \right) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _1 t} \right) + b_n \sin \left( {n\omega _1 t} \right)}f(t)=a0+n=1∑∞ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)

df(t)dt=ddt[a0+∑n=1∞ancos⁡(nω1t)+bnsin⁡(nω1t)]{{df\left( t \right)} \over {dt}} = {d \over {dt}}\left[ {a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _1 t} \right) + b_n \sin \left( {n\omega _1 t} \right)} } \right]dtdf(t)=dtd[a0+n=1∑∞ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]=0+∑n=1∞−ann⋅sin⁡(nω1t)+bnn⋅cos⁡(nω1t)= 0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty { - a_n n \cdot \sin \left( {n\omega _1 t} \right) + b_n n \cdot \cos \left( {n\omega _1 t} \right)}=0+n=1∑∞−ann⋅sin(nω1t)+bnn⋅cos(nω1t)

按照傅里叶级数分解系数，可以得到结果：
a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)a'_0 = 0,\,\,a'_n = nb_n ,\,\,b'_n = - na_n ,\,\,\left( {n = 1,2, \cdots } \right)a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)

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5. 设 f(t)f\left( t \right)f(t)为 [−π,π]\left[ { - \pi ,\pi } \right][−π,π]上的光滑函数，满足：

f(−π)=f(π)f\left( { - \pi } \right) = f\left( \pi \right)f(−π)=f(π)

且an,bna_n ,b_nan,bn为f(t)f\left( t \right)f(t)的傅里叶系数， an′,bn′a'_n ,b'_nan′,bn′为f(t)f\left( t \right)f(t)的导数f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的福利也悉数，证明：

a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)a'_0 = 0,\,\,a'_n = nb_n ,\,\,b'_n = - na_n ,\,\,\left( {n = 1,2, \cdots } \right)a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)

※ 求解：

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f(−π)=f(π)f\left( { - \pi } \right) = f\left( \pi \right)f(−π)=f(π)

且an,bna_n ,b_nan​,bn​为f(t)f\left( t \right)f(t)的傅里叶系数， an′,bn′a'_n ,b'_nan′​,bn′​为f(t)f\left( t \right)f(t)的导数f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的福利也悉数，证明：

a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)a'_0 = 0,\,\,a'_n = nb_n ,\,\,b'_n = - na_n ,\,\,\left( {n = 1,2, \cdots } \right)a0′​=0,an′​=nbn​,bn′​=−nan​,(n=1,2,⋯)

※ 求解：

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且an,bna_n ,b_nan,bn为f(t)f\left( t \right)f(t)的傅里叶系数， an′,bn′a'_n ,b'_nan′,bn′为f(t)f\left( t \right)f(t)的导数f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的福利也悉数，证明：

a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)a'_0 = 0,\,\,a'_n = nb_n ,\,\,b'_n = - na_n ,\,\,\left( {n = 1,2, \cdots } \right)a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)