2021年春季学期-信号与系统-第八次作业参考答案-第五小题
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第八次作业参考答案 中的小题求解答案。
▌第五小题 ▌
5. 已知信号x1(t)x_1 \left( t \right)x1(t)，x2(t)x_2 \left( t \right)x2(t)的频谱为：{X1(ω)=0,∣ω∣≥ω1X2(ω)=0,∣ω∣≥ω2\left\{ \begin{matrix} {X_1 \left( \omega \right) = 0,\,\,\left| \omega \right| \ge \omega _1 }\\{X_2 \left( \omega \right) = 0,\,\,\left| \omega \right| \ge \omega _2 }\\\end{matrix} \right.{X1(ω)=0,∣ω∣≥ω1X2(ω)=0,∣ω∣≥ω2设y(t)=x1(t)⋅x2(t)y\left( t \right) = x_1 \left( t \right) \cdot x_2 \left( t \right)y(t)=x1(t)⋅x2(t)，用δT(t)\delta _T \left( t \right)δT(t)对 y(t)y\left( t \right)y(t)采样得到信号为ys(t)y_s \left( t \right)ys(t)。给出能从ys(t)y_s \left( t \right)ys(t)恢复y(t)y\left( t \right)y(t)的最大采样间隔。
▓ 求解：
根据傅里叶变换的频域卷积定理：
F[x1(t)⋅x2(t)]=12πF1(ω)∗F2(ω)F\left[ {x_1 \left( t \right) \cdot x_2 \left( t \right)} \right] = {1 \over {2\pi }}F_1 \left( \omega \right) * F_2 \left( \omega \right)F[x1(t)⋅x2(t)]=2π1F1(ω)∗F2(ω)
信号相乘后的最大频率为：
ωm=ω1+ω2\omega _m = \omega _1 + \omega _2ωm=ω1+ω2
ωs=2ωm=2(ω1+ω2)\omega _s = 2\omega _m = 2\left( {\omega _1 + \omega _2 } \right)ωs=2ωm=2(ω1+ω2)
ωs=2ωm=2(ω1+ω2)\omega _s = 2\omega _m = 2\left( {\omega _1 + \omega _2 } \right)ωs=2ωm=2(ω1+ω2)Tsmax=2πωs=πω1+ω2T_{s\max } = {{2\pi } \over {\omega _s }} = {\pi \over {\omega _1 + \omega _2 }}Tsmax=ωs2π=ω1+ω2π
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