线性代数中矩阵的秩， 行列式， 矩阵向量组线性无关， 矩阵可逆之间的一些逻辑关系
笔者看到在网络上讲述这些关系的文章并不是很多（可能也是我才疏学浅哈哈），所以就萌生了写一篇相关文章的想法
首先， 我们想要理清楚矩阵的秩，行列式的值，矩阵向量组线性无关，矩阵可逆之间的关系，笔者认为可以先看一下与矩阵可逆等价的各个命题
我们首先要明确矩阵可逆的定义，即：
设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得
AB=BA=I
则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵
接下来便是矩阵可逆的各个等价的命题
1. A是可逆的
2. 齐次线性方程组AX=0只有零解
3. A与I行等价
4. A可表示为有限个初等矩阵的乘积
首先我们看1到2的证明：
设方阵A可逆，且X为AX=0的解
则X=IX=(A^-1*A)X=A^-1(AX)
因为AX=0，所以X=A^-1(AX)=0
然后我们看2到3的证明
A通过一系列行初等变换的到行简化阶梯型B，我们知道AX=0与BX=0同解
我们假设B有一对角元为0，则说明B的最后一行全为0（因为B是行简化阶梯型矩阵）
因此，我们可以得出BX=0（同时AX=0也是如此）的未知数个数多于方程个数的线性方程组，换句话说，就是未知数的个数比方程的数量多，这样的话这个方程组一定是有无数组解的，于是AX=0就有了非零解，但这与已知相矛盾
因此，我们得到，行简化阶梯型矩阵B的对角元全为非零，从而得到，A经过一系列行初等变化，可以得到I，即A与I等价
再看3到4的证明
因为A与I行等价，A经过一系列初等变换可以得到I，我们又知道，对A做行初等变换，相当于对A左乘初等矩阵（初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵），从而存在初等矩阵P1, P2, P3......Pk，使得
P1P2P3...PkA=I,
又因为初等矩阵都是可逆的，所以得到
A=P1^-1*P2^-1*P3^-1*......Pk^-1
初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，所以A可表示为有限个初等矩阵的乘积
最后我们看4到1的证明
因为A可以表示为初等矩阵的乘积，所以
A=E1E2E3...Et
E1,E2,E3,...,Et均可逆，所以由矩阵可逆的性质我们得到
A^-1=Et^-1*Et-1^-1......E2^-1*E1^-1
该定理证毕
然后我们再来讨论矩阵的秩，行列式的值，矩阵向量组线性无关，矩阵可逆之间的关系
首先，我们先给出矩阵的秩的定义
设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且没有不等于零的r+1阶子式，那么D称为A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记做R(A),并规定零矩阵的秩等于零（非零子式的最高阶数（宋老师真传doge））
假设A=[a1, a2, ..., an], 如果A满秩，就说明R(A)=n，则说明最高的非零子式就是n阶，即detA不等于0
我们再来看线性无关，
有该线性方程组AX=0,
则有x1*a1+x2*a2+x3*a3+......+xn*an=0
(若a1, a2, a3, ..., an, 线性相关， 则有 x1, x2, ..., xn不全为零， 也就是说， ak可以由a1, a2, ..., an(不包含ak）线性表出）
线性无关说明a1, a2, a3, ..., an线性独立， 它们线性独立，说明A满秩， 也就是说detA不等于零
我们最后再来看矩阵可逆（它与齐次线性方程组AX=0只有零解是等价的，而AX=0只有零解，说明A中的向量线性独立，向量组线性无关， 也就说明A满秩， 也就说明detA不等于零）
我们详细证明一下矩阵可逆与detA不等于零的关系
A可表示为初等矩阵的乘积
A=E1*E2*......Et*R(E1, E2, ..., Et为初等矩阵， R为A的行简化阶梯型， A与I行等价，所以R=I）
若A可逆，由行列式的性质得出
detA=detE1*detE2*...*detEt*detR
右端的各项均不为零，所以detA不等于零
若A不可逆，而detA又不等于零， R为A的行简化阶梯型（注意此时R不等于I了）（将A通过行简化阶梯型R，AX=0与RX=0同解）（A不可逆说明AX=0有非零解，RX=0亦如此）
说明R有一对角元为零，即说明R的最后一行全为0（这里是 1. A是可逆的 2. 齐次线性方程组AX=0只有零解的逆否命题）
又由行列式的性质，有detR=0
detA=detE1*detE2*...*detEt*detR=0
与上述矛盾，因此
A可逆， detA不等于零
自己画的一张图嘿嘿
笔者水平有限，如有错误疏漏，还望各位读者批评指正
谢谢！
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