向量组和矩阵秩的计算

1. 向量组的秩

设有向量组(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)(α1,α2........αn)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的秩

例:考虑向量组α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),α4(1,1,0),α5(1,1,1)\alpha_1(1,0,0),\alpha_2(0,1,0),\alpha_3(0,0,1),\alpha_4(1,1,0),\alpha_5(1,1,1)α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),α4(1,1,0),α5(1,1,1)的秩

解:从题中可明显看出α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3线性无关,而且α5=α1+α2+α3,α4=α1+α2\alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2α5=α1+α2+α3,α4=α1+α2,所以α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3是极大线性无关组,向量组R=(α1,α2,α3,α4,α5)R=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)R=(α1,α2,α3,α4,α5)的秩为3

向量组的秩为1,代表所有向量都在同一直线上
向量组的秩为2,代表所有向量都在同一平面上
向量组的秩为n,代表所有向量都在n-1纬空间内
向量组的秩描述里向量在空间中占据的位置

2. 矩阵的秩

矩阵的行向量组的秩叫做行秩,矩阵列向量组的秩叫做矩阵的列秩,矩阵的行秩=矩阵的列秩,并且成为矩阵的秩

定理:

给矩阵做初等变换不改变矩阵的秩
阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数
任何矩阵都可以经过初等行变化化为阶梯形

综合以上三条,我们最后得出求矩阵秩的方法:先对矩阵做初等变化化成行阶梯形,判断行阶梯形矩阵的秩即确定其非零行的行数,即为该矩阵的秩

例:设A=∣12−24t33−11∣,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为?设A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为?设A=∣1432t−1−231∣,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为?

解:
因为AB=O,所以R(A)+R(B)<=n因为AB=O,所以R(A)+R(B)<=n因为AB=O,所以R(A)+R(B)<=n
因为B为三阶非零方阵,所以R(B)>1因为B为三阶非零方阵,所以R(B)>1因为B为三阶非零方阵,所以R(B)>1
可得R(A)<n可得R(A)<n可得R(A)<n
A=∣12−24t33−11∣−>∣12−201−10−3−t0∣,因R(A)<n,所以t=−3A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|->|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -3-t & 0 \end{matrix}|,因R(A)<n,所以t=-3A=∣1432t−1−231∣−>∣10021−3−t−2−10∣,因R(A)<n,所以t=−3