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前言
往期文章
4.1 向量组及其线性组合
- 定义1
- 定义2
- 定理1
- 定义3
- 定理2
- 推论
- 举例
- - 例 1
  - 例2
- 定理3
- 小结
结语

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往期文章

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（9）：矩阵的秩、线性方程组的解

4.1 向量组及其线性组合

定义1

1. n维向量

定义：n个有次序的数a1,a2,....,ana_1,a_2,....,a_na1,a2,....,an所组成的数组，其中这n个数成为该向量的n个分量，第i个数aia_{i}ai称为第i个分量

2. 实向量

定义：向量中的所有的分量均为实数

3. 复向量

定义：向量中至少有一个分量为复数

4. n维列向量a

a=[a1a2...an]a =\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_n \end{bmatrix} a=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

5. n维行向量b

b=(b1,b2,...,bn)b = (b_1,b_2,...,b_n) b=(b1,b2,...,bn)

一般来说，列向量用黑体小写字母α、β\alpha 、\betaα、β等表示，行向量用αT、βT\alpha^{T}、\beta^{T}αT、βT等表示
无特殊说明时，一般看作为列向量

6. 三维向量空间

定义：三维向量的全体所组成的集合

R3={r=(x,y,z)T∣x,y,z∈R}\mathbb{R}^3 = \{r = (x, y, z)^T | x, y, z \in \mathbb{R} \}R3={r=(x,y,z)T∣x,y,z∈R}

称为三维向量空间

在讨论向量的运算时，将向量看作有向线段

在讨论向量集合时，则把向量r看作以r为向径的点P，从而把点P的轨迹作为向量集的图形

向径：一般指位置矢量。在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段

例如点集 Π={P(x,y,z)∣ax+by+cz=d\Pi = \{ P(x, y, z) | ax + by + cz = dΠ={P(x,y,z)∣ax+by+cz=d是一个平面（a、b、c不全为0）

假设a = b = c = 1 d = 0
则为 x + y + z = 0
稍微变形一下 z = - x - y
这样就容易看出其是一个平面了

于是向量集 {r=(x,y,z)T∣ax+by+cz=d}\{ r = (x, y, z)^T | ax + by + cz = d \}{r=(x,y,z)T∣ax+by+cz=d}

也叫做向量空间R3\mathbb{R}^3R3中的平面，并把Π\PiΠ作为它的图形

7. n维向量空间

n维向量的全部所组成的集合

Rn={x=(x1,x2,....,xn)T∣x1,x2,...,xn∈R}\mathbb{R}^n = \{ x = (x_1, x_2,...., x_n)^T | x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} \}Rn={x=(x1,x2,....,xn)T∣x1,x2,...,xn∈R}

其中n维向量的集合{x=(x1,x2,...,xn)T∣a1x1+a2x2+....+anxn=b\{ x = (x_1,x_2,...,x_n)^T | a_1x_1 + a_2x_2 +.... + a_nx_n = b{x=(x1,x2,...,xn)T∣a1x1+a2x2+....+anxn=b叫做n维向量空间Rn中的n−1维超平面\mathbb{R}^n中的n - 1维超平面Rn中的n−1维超平面

8. 向量组

定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合

一个 m * n 矩阵的全体列向量是一个含有 n个 m维列向量的向量组
全体行向量是一个含 m个 n维行向量的向量组

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量组总可以构成一个矩阵

比如，m个n维列向量所组成的向量组A:a1,a2,...,am(ai,i∈[1,m]表示一个n维列向量)A:a_1,a_2,...,a_m(a_i,i \in [1,m] 表示一个n维列向量)A:a1,a2,...,am(ai,i∈[1,m]表示一个n维列向量)可以构成一个n * m 矩阵
A=(a1,a2,...,am)A = (a_1,a_2,...,a_m)A=(a1,a2,...,am)

m个n维行向量所组成的向量B:β1T,β2T,...,βmTB: \beta_1^T, \beta_2^T,...,\beta_m^TB:β1T,β2T,...,βmT构成一个m * n 矩阵

B=(β1Tβ2T...βmT)B = \begin{pmatrix} \beta_1^T\\ \beta_2^T \\ .\\ .\\ .\\ \beta_m^T \\ \end{pmatrix}B=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛β1Tβ2T...βmT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

βi\beta_iβi为列向量

总之，含有有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应

定义2

（1）给定向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am，对于任何一组实数k1,k2,...,kmk_1,k_2,...,k_mk1,k2,...,km，表达式k1a1+k2a2+...+kmamk_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_m a_mk1a1+k2a2+...+kmam称为向量组A的一个线性组合，k1,k2....,kmk_1,k_2 .... , k_mk1,k2....,km称为这个线性组合的系数

（2）给定向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am和向量b，如果存在一组数λ1,λ2,...,λm\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_mλ1,λ2,...,λm，使得b=λ1a1+λ2a2+....+λmamb = \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + .... + \lambda_ma_mb=λ1a1+λ2a2+....+λmam

（3）则向量b是向量组A的线性表示，也就是说方程组x1a1+x2a2+...+xmam=bx_1a_1 + x_2a_2 + ... + x_ma_m = bx1a1+x2a2+...+xmam=b有解

定理1

向量bbb能由向量A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,...,am)A=(a_1,a_2,...,a_m)A=(a1,a2,...,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,...am,b)B = (a_1,a_2,...a_m,b)B=(a1,a2,...am,b)的秩

其实就是方程组x1a1+x2a2+...+xmam=bx_1a_1 + x_2a_2 + ... + x_ma_m = bx1a1+x2a2+...+xmam=b有解
因为线性方程组Ax=bAx=bAx=b有解，充分必要条件是R(A)=R(A,b)R(A)=R(A,b)R(A)=R(A,b)（上一章的定理5）

定义3

设有两个向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am及B:b1,b2,....,blB:b_1,b_2,....,b_lB:b1,b2,....,bl，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。

若向量组A与向量组B互相线性表示，则称这两个向量组等价

设向量组A=(a1,a2,...,am)A = (a_1,a_2,...,a_m)A=(a1,a2,...,am)，向量组B=(b1,b2,...,bl)B=(b_1,b_2,...,b_l)B=(b1,b2,...,bl)

若BBB能由AAA线性表示那么对每个向量bj(j=1,2,...,l)b_j(j = 1,2,...,l)bj(j=1,2,...,l)

存在数k1j,k2j,...,kmjk_{1j},k_{2j},...,k_{mj}k1j,k2j,...,kmj，使得

bj=k1ja1+k2ja2+...+kmjam=(a1,a2,...,am)(k1jk2j...kmj)b_j = k_{1j}a_1 + k_{2j}a_2 + ... + k_{mj}a_m = (a_1,a_2,...,a_m)\begin{pmatrix} k_{1j}\\ k_{2j}\\ .\\ .\\ .\\ k_{mj} \end{pmatrix}bj=k1ja1+k2ja2+...+kmjam=(a1,a2,...,am)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛k1jk2j...kmj⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

从而得到

(b1,b2,....,bl)=(a1,a2,...,am)(k11k12...k1lk21k22...k2l.........km1km2...kml)(b_1,b_2,....,b_l) = (a_1,a_2,...,a_m)\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & ... & k_{1l}\\ k_{21} & k_{22} & ... & k_{2l}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ k_{m1} & k_{m2} & ... & k_{ml}\\ \end{pmatrix}(b1,b2,....,bl)=(a1,a2,...,am)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛k11k21...km1k12k22...km2.........k1lk2l...kml⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

进而
B=AKB = AKB=AK
其中矩阵Km∗l=(kij)K_{m * l} = (k_{ij})Km∗l=(kij)则称为这一线性表示的系数矩阵

上面向量组A、B都是使用列向量组进行组合的，现在来讨论为行向量组来组成A、B

设
A=(a1Ta2T...amT)B=(b1Tb2T...blT)A=\begin{pmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ .\\ .\\ .\\ a_m^T \end{pmatrix} \quad B =\begin{pmatrix} b_1^T\\ b_2^T\\ .\\ .\\ .\\ b_l^T \end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1Ta2T...amT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞B=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛b1Tb2T...blT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

因为B中的任意一条向量都可以用AAA线性表示

那么有

bjT=kj1a1T+kj2a2T+...+kjmamT=(kj1,kj2,...,kjm)(a1Ta2T...amT)(j∈[1,l])b_j^T = k_{j1}a_1^T + k_{j2}a_2^T + ... + k_{jm}a_m^T =(k_{j1},k_{j2},...,k_{jm})\begin{pmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ .\\ .\\ .\\ a_m^T \end{pmatrix} (j \in [1,l])bjT=kj1a1T+kj2a2T+...+kjmamT=(kj1,kj2,...,kjm)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1Ta2T...amT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞(j∈[1,l])

进而得到

(b1Tb2T...blT)=(k11k12...k1mk21k22...k2m.........kl1kl2...klm)(a1Ta2T...amT)\begin{pmatrix} b_1^T\\ b_2^T\\ .\\ .\\ .\\ b_l^T \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & ... & k_{1m}\\ k_{21} & k_{22} & ... & k_{2m}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ k_{l1} & k_{l2} & ... & k_{lm}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ .\\ .\\ .\\ a_m^T \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛b1Tb2T...blT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛k11k21...kl1k12k22...kl2.........k1mk2m...klm⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1Ta2T...amT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

推出 B=KAB = K AB=KA

由以上可知，若Cm∗n=Am∗lBl∗nC_{m * n} = A_{m * l} B_{l * n}Cm∗n=Am∗lBl∗n，则矩阵C的列向量组都能由矩阵A的列向量组线性表示，B则为这一表示的系数矩阵

CCC对应上式中的BBB，AAA对应AAA，那么BBB就对应K（B=AK）K（B = AK）K（B=AK）

(c1,c2,...,cn)=(a1,a2,...,al)(b11b12....b1nb21b22....b2n.........bl1bl2....bln)(c_1,c_2,...,c_n) = (a_1,a_2,...,a_l)\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & .... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & .... & b_{2n} \\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ b_{l1} & b_{l2} & .... & b_{ln} \\ \end{pmatrix}(c1,c2,...,cn)=(a1,a2,...,al)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛b11b21...bl1b12b22...bl2............b1nb2n...bln⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

同时，若C的行向量组都可以由B的行向量组线性表示，那么A就为这一表示的系数矩阵

利用B=KAB = KAB=KA 对应这里的 C=ABC=ABC=AB
得到 A就是系数矩阵

定理2

向量组B:b1,b2,...,blB:b_1,b_2,...,b_lB:b1,b2,...,bl能由向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,...,am)A= (a_1,a_2,...,a_m)A=(a1,a2,...,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,...,am,b1,...,bl)(A,B) = (a_1,...,a_m,b_1,...,b_l)(A,B)=(a1,...,am,b1,...,bl)的秩，即R(A)=R(A,B)R(A) = R(A, B)R(A)=R(A,B)

说明

因为BBB可以由AAA进行线性表示

那么就存在一个系数矩阵KKK，使得B=AKB = AKB=AK

也就可以说

AX=BAX = BAX=B 至少存在一个解

又因为

线性方程组Ax=bAx=bAx=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)R(A)=R(A,b)R(A)=R(A,b)

所以 R(A)=R(A,B)R(A) = R(A, B)R(A)=R(A,B)

推论

向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am与向量组
B:b1,b2,...,blB:b_1,b_2,...,b_lB:b1,b2,...,bl等价的充分必要条件是
R(A)=R(B)=R(A,B)R(A) = R(B) = R(A, B)R(A)=R(B)=R(A,B)

其中，A和B是向量组A和B所构成的矩阵

证明：

因为BBB可以由AAA进行线性表示，那么由定理2可以得

R(A)=R(A,B)R(A) = R(A, B)R(A)=R(A,B)

同理，AAA也可以由BBB进行线性表示，那么一样有

R(B)=R(B,A)R(B) = R(B, A)R(B)=R(B,A)

又因为

R(A,B)=R(B,A)R(A, B) = R(B, A)R(A,B)=R(B,A)

得到

R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)R(A) = R(B) = R(A, B) = R(B, A)R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)

证明完成！

举例

例 1

设a1=[1122],a2=[1212],a3=[1−140],b=[1031]a_1=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2\\ 2 \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ 2 \end{bmatrix},a_3=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 4\\ 0 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}a1=⎣⎢⎢⎡1122⎦⎥⎥⎤,a2=⎣⎢⎢⎡1212⎦⎥⎥⎤,a3=⎣⎢⎢⎡1−140⎦⎥⎥⎤,b=⎣⎢⎢⎡1031⎦⎥⎥⎤

证明向量bbb能由向量组a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1,a2,a3线性表示，并求出表达式

证明：

设A=(a1,a2,a3)，B=(A,b)A=(a_1,a_2,a_3)，B=(A,b)A=(a1,a2,a3)，B=(A,b)

由定理1可知向量b若能由向量组a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1,a2,a3线性表示

则

R(A)=R(A,b)=R(B)R(A)=R(A,b)=R(B)R(A)=R(A,b)=R(B)

这里我们只需要对BBB进行化简，求秩（求R(B)R(B)R(B)的同时，R(A)R(A)R(A)也就一目了然了）

由

(103201−2−100000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛100001003−2002−100⎠⎟⎟⎞

可得

{x1+3x3=2x2−2x3=−1\begin{cases} x_1 + 3x_3 = 2\\ x_2 - 2x_3 =-1 \end{cases}{x1+3x3=2x2−2x3=−1

移项，得

{x1=−3x3+2x2=2x3−1\begin{cases} x_1 = -3x_3 + 2\\ x_2 = 2x_3 -1 \end{cases}{x1=−3x3+2x2=2x3−1

令x3=cx_3 = cx3=c 得

{x1=−3c+2x2=2c−1x3=c\begin{cases} x_1 = -3c + 2\\ x_2 = 2c -1\\ x_3 = c \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1=−3c+2x2=2c−1x3=c

推出

x=c(−321)+(2−10)=(−3c+22c−1c)x = c\begin{pmatrix} -3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3c + 2\\ 2c - 1\\ c \end{pmatrix}x=c⎝⎛−321⎠⎞+⎝⎛2−10⎠⎞=⎝⎛−3c+22c−1c⎠⎞

注：x=(x1x2x3)x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}x=⎝⎛x1x2x3⎠⎞

所以

b=(a1,a2,a3)x=(−3c+2)a1+(2c−1)a2+ca3b = (a_1,a_2,a_3)x = (-3c + 2)a_1 + (2c - 1)a_2 + ca_3b=(a1,a2,a3)x=(−3c+2)a1+(2c−1)a2+ca3，其中c可以取任何值

例2

设a1=[1−11−1],a2=[3113],b1=[2011],b2=[1102],b3=[3−120]a_1=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 1\\ 3 \end{bmatrix},b_1=\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix},b_2=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 2 \end{bmatrix}, b_3=\begin{bmatrix} 3\\ -1\\ 2\\ 0 \end{bmatrix}a1=⎣⎢⎢⎡1−11−1⎦⎥⎥⎤,a2=⎣⎢⎢⎡3113⎦⎥⎥⎤,b1=⎣⎢⎢⎡2011⎦⎥⎥⎤,b2=⎣⎢⎢⎡1102⎦⎥⎥⎤,b3=⎣⎢⎢⎡3−120⎦⎥⎥⎤

证明向量组a1,a2a_1,a_2a1,a2与向量组b1,b2,b3b_1,b_2,b_3b1,b2,b3等价

证明：

设A=(a1,a2),B=(b1,b2,b3)A=(a_1,a_2),B=(b_1,b_2,b_3)A=(a1,a2),B=(b1,b2,b3)

由定理2的推论 可知 AAA与BBB等价

说明

R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)

对(A,B)(A,B)(A,B)进行化简

得到

R(A)=R(A,B)=2R(A)=R(A,B)=2R(A)=R(A,B)=2

又可以明显的看出来BBB中有不等于0的2阶子式

说明

R(B)≥2R(B) \geq 2R(B)≥2

又因为

R(B)≤R(A,B)=2R(B) \leq R(A,B)=2R(B)≤R(A,B)=2

所以有

2≤R(B)≤22 \leq R(B) \leq 22≤R(B)≤2

推出

R(B)=2R(B)=2R(B)=2

综上

R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)R(A)=R(B)=R(A,B)

所以AAA与BBB等价

定理3

设向量组B=b1,b2,...,blB = b_1, b_2,..., b_lB=b1,b2,...,bl 能由向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am线性表示，则R(b1,b2,...,bl)≤R(a1,a2,...,an)R(b_1,b_2,...,b_l) \leq R(a_1,a_2,...,a_n)R(b1,b2,...,bl)≤R(a1,a2,...,an)

证明：

令A=(a1,a2,...,am)A=(a_1,a_2,...,a_m)A=(a1,a2,...,am)，B=(b1,b2,...,bl)B=(b_1,b_2,...,b_l)B=(b1,b2,...,bl)

因为BBB可以由AAA线性表示

那么就有

R(A)=R(A,B)(由定理2得来)R(A) = R(A, B)(由定理2得来)R(A)=R(A,B)(由定理2得来)

又因为
R(B)<=R(A,B)R(B) <= R(A,B)R(B)<=R(A,B)

所以

R(B)<=R(A)R(B) <= R(A)R(B)<=R(A)

小结

由上面的定律、推论可得

向量组B:b1,b2,...,blB:b_1,b_2,...,b_lB:b1,b2,...,bl能由向量组A:a1,a2,...,amA:a_1,a_2,...,a_mA:a1,a2,...,am线性表示⇔\Leftrightarrow⇔有矩阵KKK，使得B=AKB=AKB=AK⇔\Leftrightarrow⇔方程AK=BAK=BAK=B有解

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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文章目录

前言

往期文章

4.1 向量组及其线性组合

定义1

定义2

定理1

定义3

定理2

推论

举例

例 1

例2

定理3

小结

结语

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