文章目录

拉普拉斯变换及其性质
- 1 双边拉普拉斯变换的定义
- 2 收敛域
- - 2.1 因果信号
  - 2.2 反因果信号
  - 2.3 双边信号
- 3 （因果信号）单边拉氏变换的定义
- 4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
- 5 常见信号的拉普拉斯变换
- 6 拉普拉斯变换的性质
- - 6.1 线性、尺度变换
  - 6.2 时移、复频移特性
  - 6.3 时域和复频域的微积分特性
  - 6.4 卷积定理
  - 6.5 初值、终值定理
- 7 拉普拉斯反变换

拉普拉斯变换及其性质

傅里叶变换：jwjwjw
拉普拉斯变换：s=σ+jws=\sigma+jws=σ+jw

1 双边拉普拉斯变换的定义

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e−σte^{-\sigma t}e−σt（σ\sigmaσ为实常数）乘信号f(t)f(t)f(t)，适当选取σ\sigmaσ的值，使乘积信号f(t)e−σtf(t)e^{-\sigma t}f(t)e−σt当t→∞t\rightarrow \inftyt→∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t)e−σtf(t)e^{-\sigma t}f(t)e−σt的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为：

2 收敛域

只有选择适当的σ\sigmaσ值才能使积分收敛，信号f(t)f(t)f(t)的双边拉普拉斯变换存在。

收敛域：使 f(t)f(t)f(t) 拉氏变换存在的σ\sigmaσ取值范围。

2.1 因果信号

因果信号的收敛域在某一条直线之右。

2.2 反因果信号

反因果信号的收敛域在某一条直线之左。

2.3 双边信号

双边信号的收敛域在两条直线之间。

结论：

(1) 对于双边拉普拉斯变换而言，Fb(s)F_b(s)Fb(s)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)f(t)f(t)。即：

(2) 不同的信号可以有相同的Fb(s)F_b(s)Fb(s)，但收敛域不同。

3 （因果信号）单边拉氏变换的定义

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0t<0t<0时，f(t)=0f(t)=0f(t)=0。从而拉氏变换式写为
F(s)=∫0−∞f(t)e−stdtF(s)=\int_{0_{-}}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t F(s)=∫0−∞f(t)e−st dt

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>αRe[s]>\alphaRe[s]>α，可以省略。

ε(t)\varepsilon(t)ε(t)：单边，ttt小于零部分f(t)f(t)f(t)值为零。

4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

备注：
∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C∫a2+x21dx=a1arctanax+C

当w≠0w\not = 0w=0时，
lim⁡σ→0σσ2+ω2=0=πδ(ω)\lim _{\sigma \rightarrow 0} \frac{\sigma}{\sigma^{2}+\omega^{2}}=0=\pi\delta(\omega)σ→0limσ2+ω2σ=0=πδ(ω)

当w=0w= 0w=0时，极限值为无穷大，等价于冲激函数δ(w)\delta(w)δ(w)，面积为π\piπ：
∫−∞∞σσ2+ω2dω=arctan⁡(xσ)∣−∞+∞=π\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma}{\sigma^{2}+\omega^{2}}d\omega= \arctan (\frac{x}{\sigma})|_{-\infty}^{+\infty}=\pi∫−∞∞σ2+ω2σdω=arctan(σx)∣−∞+∞=π
即πδ(w)\pi\delta(w)πδ(w)。

5 常见信号的拉普拉斯变换

6 拉普拉斯变换的性质

6.1 线性、尺度变换

6.2 时移、复频移特性

6.3 时域和复频域的微积分特性

我们可以通过求原函数倒数的拉氏变换来求原函数的拉氏变换。

6.4 卷积定理

6.5 初值、终值定理

7 拉普拉斯反变换

直接利用定义式求反变换—复变函数积分，比较困难。常用的方法 :
（1）查表 ;

（2）利用性质;

（3）部分分式展开 ----- 结合

若象函数F(s)F(s)F(s)是 sss 的有理分式，可写为

若m≥nm ≥ nm≥n （假分式）, 可用多项式除法将象函数F(s)F(s)F(s)分解为有理多项式P(s)+有理真分式P(s)+有理真分式P(s)+有理真分式

例如：

P(s)P(s)P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数(δ\deltaδ)及其各阶导数(δ′\delta'δ′，δ′′\delta''δ′′…)构成。

下面主要讨论有理真分式。

部分分式展开法

1s−(−α+jβ)→e(−α+jβ)t\frac{1}{s-(-\alpha+j\beta)}\rightarrow e^{(-\alpha+j\beta)t}s−(−α+jβ)1→e(−α+jβ)t

1s−(−α−jβ)→e(−α−jβ)t\frac{1}{s-(-\alpha-j\beta)}\rightarrow e^{(-\alpha-j\beta)t}s−(−α−jβ)1→e(−α−jβ)t

由欧拉公式，得到：

ejθ⋅e(−α+jβ)t+e−jθ⋅e(−α−jβ)te^{j\theta}\cdot e^{(-\alpha+j\beta)t}+e^{-j\theta}\cdot e^{(-\alpha-j\beta)t} ejθ⋅e(−α+jβ)t+e−jθ⋅e(−α−jβ)t
=e−α(ej(θ+βt)+e−j(θ+βt))=e^{-\alpha}(e^{j(\theta+\beta t)}+e^{-j(\theta+\beta t)}) =e−α(ej(θ+βt)+e−j(θ+βt))
=2e−αcos⁡(βt+θ)=2e^{-\alpha}\cos(\beta t+\theta) =2e−αcos(βt+θ)

真分式：

假分式：

中国大学MOOC：信号与系统，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟

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