哈密顿正则方程和哈密顿-雅克比方程

勒让德变换和正则方程

设有f(x,y)f(x,y)f(x,y)，则全微分df(x,y)=udx+vdydf(x,y)=udx+vdydf(x,y)=udx+vdy，其中u=∂f(x,y)/∂x,v=∂f(x,y)/∂yu=∂f(x,y)/∂x,v=∂f(x,y)/∂yu=\partial f(x,y)/\partial x,v=\partial f(x,y)/\partial y。这里的变量是x,yx,yx,y。注意uuu是x,y" role="presentation" style="position: relative;">x,yx,yx,y的函数，即u=u(x,y)u=u(x,y)u=u(x,y)，从这个式子出发，也可以把函数关系表示为x=x(u,y)x=x(u,y)x=x(u,y)。现在希望把变量换成uuu和y" role="presentation" style="position: relative;">yyy，也就是说把函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)看做复合函数f(u,y)=f[x(u,y),y]f(u,y)=f[x(u,y),y]f(u,y)=f[x(u,y),y]，构造函数g(u,y)=f(u,y)−ux(u,y)g(u,y)=f(u,y)−ux(u,y)g(u,y)=f(u,y)-ux(u,y)，则dg(u,y)=df−xdu−udx=vdy−xdudg(u,y)=df−xdu−udx=vdy−xdudg(u,y)=df-xdu-udx=vdy-xdu，上式就成功地把变量换成了uuu和y" role="presentation" style="position: relative;">yyy，有∂g(u,y)/∂y=v,∂g(u,y)/∂u=−x∂g(u,y)/∂y=v,∂g(u,y)/∂u=−x\partial g(u,y)/\partial y=v,\partial g(u,y)/\partial u=-x。这就是勒让德变换，通过修改被全微分的函数，来把全微分式中udxudxudx换成xduxduxdu。

位形空间中的拉格朗日函数L(q,q˙,t)L(q,q˙,t)L(q,\dot{q},t)以qqq和q˙" role="presentation" style="position: relative;">q˙q˙\dot{q}为自由变量，现在想把q˙q˙\dot{q}换成对应的动量p=∂L/∂q˙p=∂L/∂q˙p=\partial L/\partial \dot{q}，让自由变量变成qqq和p" role="presentation" style="position: relative;">ppp。先求其全微分

dL(q,q˙,t)=∑k(∂L∂qkdqk+∂L∂q˙kdq˙k)+∂L∂tdtdL(q,q˙,t)=∑k(∂L∂qkdqk+∂L∂q˙kdq˙k)+∂L∂tdt

dL(q,\dot{q},t)=\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}dq_k+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}d\dot{q}_k\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt按照广义动量的定义

pk=∂L∂qk˙pk=∂L∂qk˙

p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}和拉格朗日方程

pk˙=ddt∂L∂qk˙=∂L∂qkpk˙=ddt∂L∂qk˙=∂L∂qk

\dot{p_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=\frac{\partial L}{\partial q_k}代入拉格朗日函数的全微分式中，得到

dL(q,q˙,t)=∑k(p˙kdqk+pkdq˙k)+∂L∂tdtdL(q,q˙,t)=∑k(p˙kdqk+pkdq˙k)+∂L∂tdt

dL(q,\dot{q},t)=\sum_k\left(\dot{p}_kdq_k+p_kd\dot{q}_k\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt上式中扮演自变量身份的还是 qk,q˙k,tqk,q˙k,tq_k,\dot{q}_k,t三者，现在希望把上式中的 pkdq˙kpkdq˙kp_kd\dot{q}_k换成 q˙kdpkq˙kdpk\dot{q}_kdp_k，从而把自变量换成 qk,pk,tqk,pk,tq_k,p_k,t三者。为此使用勒让德变换，构造新函数

H(p,q,t)=∑kpkq˙k−L(q,q˙,t)H(p,q,t)=∑kpkq˙k−L(q,q˙,t)

H(p,q,t)=\sum_kp_k\dot{q}_k-L(q,\dot{q},t)求上式全微分得到

dH(p,q,t)=∑k(q˙kdpk−p˙kdqk)−∂L∂tdtdH(p,q,t)=∑k(q˙kdpk−p˙kdqk)−∂L∂tdt

dH(p,q,t)=\sum_k(\dot{q}_kdp_k-\dot{p}_kdq_k)-\frac{\partial L}{\partial t}dt这就是说

∂H∂pk∂H∂qk(∂H∂t)p,q=q˙k=−p˙k=−(∂L∂t)q˙,q∂H∂pk=q˙k∂H∂qk=−p˙k(∂H∂t)p,q=−(∂L∂t)q˙,q

\begin{aligned}\frac{\partial H}{\partial p_k}&=\dot{q}_k\\ \frac{\partial H}{\partial q_k}&=-\dot{p}_k\\ \left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{p,q}&=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{\dot{q},q}\end{aligned}这个新函数 HHH和拉格朗日力学中的广义能量函数一样，但是这里把它写作p,q,t" role="presentation" style="position: relative;">p,q,tp,q,tp,q,t的函数（相空间），而非 q,q˙,tq,q˙,tq,\dot{q},t的函数（位形空间），所以这里 HHH称为哈密顿函数。前两个式子就是哈密顿正则方程。

罗斯函数

上面利用勒让德变换把所有的广义速度q˙k" role="presentation" style="position: relative;">q˙kq˙k\dot{q}_k换成了广义动量 pkpkp_k，但是有时候只希望一部分广义坐标对应的广义速度被替换，而另一部分仍保留广义速度。这时介于拉格朗日函数和哈密顿函数之间的，叫做罗斯函数。例如假设系统有两个广义坐标 q,ξq,ξq,\xi，现在只想把拉格朗日函数中的 q˙q˙\dot{q}换成广义动量，而 ξ˙ξ˙\dot{\xi}保留。为此构造罗斯函数

R(q,p,ξ,ξ˙)=pq˙−LR(q,p,ξ,ξ˙)=pq˙−L

R(q,p,\xi,\dot{\xi})=p\dot{q}-L求其全微分为

dR(q,p,ξ,ξ˙)=−p˙dq−pdq˙−∂L∂ξdξ−∂L∂ξ˙dξ˙+q˙dp+pdq˙=q˙dp−p˙dq−∂L∂ξdξ−∂L∂ξ˙dξ˙dR(q,p,ξ,ξ˙)=−p˙dq−pdq˙−∂L∂ξdξ−∂L∂ξ˙dξ˙+q˙dp+pdq˙=q˙dp−p˙dq−∂L∂ξdξ−∂L∂ξ˙dξ˙

dR(q,p,\xi,\dot{\xi})=-\dot{p}dq-pd\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial \xi}d\xi-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}d\dot{\xi}+\dot{q}dp+pd\dot{q}\\=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial \xi}d\xi-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}d\dot{\xi}这表明

∂R∂q=−p˙,∂R∂p=q˙∂R∂ξ=−∂L∂ξ,∂R∂ξ˙=−∂L∂ξ˙∂R∂q=−p˙,∂R∂p=q˙∂R∂ξ=−∂L∂ξ,∂R∂ξ˙=−∂L∂ξ˙

\begin{aligned}\frac{\partial R}{\partial q}=-\dot{p},\frac{\partial R}{\partial p}=\dot{q}\end{aligned}\\ \frac{\partial R}{\partial \xi}=-\frac{\partial L}{\partial \xi},\frac{\partial R}{\partial \dot{\xi}}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}前两式正是 qqq这个广义坐标对应的哈密顿正则方程。把后两式代入ξ" role="presentation" style="position: relative;">ξξ\xi的拉格朗日方程中，有

ddt∂R∂ξ˙−∂R∂ξ=0ddt∂R∂ξ˙−∂R∂ξ=0

\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\xi}}-\frac{\partial R}{\partial \xi}=0所以如果只对希望变换的广义速度进行勒让德变换，则得到的结果就是罗斯函数，罗斯函数对于已经变换的广义坐标，得到的运动方程是哈密顿正则方程形式，对于还未变换的广义坐标，得到的还是拉格朗日方程形式。如果坐标 qqq是循环坐标，则原拉格朗日函数不显含q" role="presentation" style="position: relative;">qqq，则上面罗斯函数不显含 qqq，又因为循环坐标，从而p" role="presentation" style="position: relative;">ppp为常数，由此上面的方程只是关于 ξξ\xi的微分方程，循环坐标完全被消去，比 ξξ\xi的拉格朗日方程要简单。

泊松括号和力学量随时间的变化

设力学量f(p,q,t)f(p,q,t)f(p,q,t)，则关于时间全导数为

dfdt=∂f∂t+∑k(∂f∂pkp˙k+∂f∂qkq˙k)dfdt=∂f∂t+∑k(∂f∂pkp˙k+∂f∂qkq˙k)

\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_k\left(\frac{\partial f}{\partial p_k}\dot{p}_k+\frac{\partial f}{\partial q_k}\dot{q}_k\right)又因为 q˙k=∂H/∂pk,p˙k=−∂H/∂qkq˙k=∂H/∂pk,p˙k=−∂H/∂qk\dot{q}_k=\partial H/\partial p_k,\dot{p}_k=-\partial H/\partial q_k所以

dfdt=∂f∂t+∑k(∂H∂pk∂f∂qk−∂H∂qk∂f∂pk)dfdt=∂f∂t+∑k(∂H∂pk∂f∂qk−∂H∂qk∂f∂pk)

\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_k\left(\frac{\partial H}{\partial p_k}\frac{\partial f}{\partial q_k}-\frac{\partial H}{\partial q_k}\frac{\partial f}{\partial p_k}\right)定义泊松括号为

[F,G]=∑k(∂F∂pk∂G∂qk−∂F∂qk∂G∂pk)[F,G]=∑k(∂F∂pk∂G∂qk−∂F∂qk∂G∂pk)

[F,G]=\sum_k\left(\frac{\partial F}{\partial p_k}\frac{\partial G}{\partial q_k}-\frac{\partial F}{\partial q_k}\frac{\partial G}{\partial p_k}\right)则

dfdt=∂f∂t+[H,f]dfdt=∂f∂t+[H,f]

\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+[H,f]这就是力学量随时间的变化。如果函数 fff不显含时间t" role="presentation" style="position: relative;">ttt，则 fff守恒的充要条件是[H,f]=0" role="presentation" style="position: relative;">[H,f]=0[H,f]=0[H,f]=0。

作用量函数

最小作用量原理说的是在时刻t=t1t=t1t=t_1和时刻t=t2t=t2t=t_2，系统的位置由两组坐标q(1)q(1)q^{(1)}和q(2)q(2)q^{(2)}确定，那么系统在这两个位置之间的运动使得作用量

S=∫t2t1L(q,q˙,t)dtS=∫t1t2L(q,q˙,t)dt

S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt取最小值。即 δS=0δS=0\delta S=0。

设q(t)q(t)q(t)使得作用量SSS取最小值，现在给q(t)" role="presentation" style="position: relative;">q(t)q(t)q(t)一个变分δq(t)δq(t)\delta q(t)，变分δq(t)δq(t)\delta q(t)满足δq(t1)=δq(t2)=0δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0，从而系统始末状态不变，只是运动轨迹变化。则使用q(t)+δq(t)q(t)+δq(t)q(t)+\delta q(t)代替q(t)q(t)q(t)给SSS带来的变分为

δS=δ∫t1t2L(q,q˙,t)dt=∫t1t2(∂L∂qδq+∂L∂q˙δq˙)dt" role="presentation">δS=δ∫t2t1L(q,q˙,t)dt=∫t2t1(∂L∂qδq+∂L∂q˙δq˙)dtδS=δ∫t1t2L(q,q˙,t)dt=∫t1t2(∂L∂qδq+∂L∂q˙δq˙)dt

\delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}\right)dt由于是等时变分，所以δq˙=d(δq)/dtδq˙=d(δq)/dt\delta \dot{q}=d(\delta q)/dt，分部积分可得

δS=∂L∂q˙δq∣∣∣t2t1+∫t2t1(∂L∂q−ddt∂L∂q˙)δqdtδS=∂L∂q˙δq|t1t2+∫t1t2(∂L∂q−ddt∂L∂q˙)δqdt

\delta S=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\Bigg|^{t_2}_{t_1}+\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q dt

现在重新考虑作用量，让积分沿着真实的运动路径，只固定t=t1t=t1t=t_1对应的q(1)q(1)q^{(1)}这一端，而让在t=t2t=t2t=t_2时刻的q(t2)q(t2)q(t_2)通过不同的位置，这样作用量SSS就是t=t2" role="presentation" style="position: relative;">t=t2t=t2t=t_2时刻通过的不同位置的函数。观察上面δSδS\delta S的式子，由于沿着真实的运动路径，上式积分为零，而第一项的下限有δq(t1)=0δq(t1)=0\delta q(t_1)=0所以有

δS=∑ipiδqiδS=∑ipiδqi

\delta S=\sum_ip_i\delta q_i其中 δqiδqi\delta q_i是 t=t2t=t2t=t_2时的 δqi(t)δqi(t)\delta q_i(t)， pipip_i是对应的广义动量。上式表明，若如此重新考虑作用量，则有

∂S∂qi=pi∂S∂qi=pi

\frac{\partial S}{\partial q_i}=p_i这是固定两端时间 t=t1,t=t2t=t1,t=t2t=t_1,t=t_2和一端状态 q(t1)q(t1)q(t_1)，而让另一端的状态 q(t2)q(t2)q(t_2)变动的情况；同样的，还可以这样重新考虑作用量，固定两个状态 q(t1)q(t1)q(t_1)和 q(t2)q(t2)q(t_2)，以及一端的时间 t=t1t=t1t=t_1，而让另一端时间 t2t2t_2变动（简记为 ttt），则可设想，也会存在一个∂S/∂t" role="presentation" style="position: relative;">∂S/∂t∂S/∂t\partial S/\partial t，它的具体表达式求法如下：将 SSS看做末端的坐标和时间的函数，则有

dSdt=∂S∂t+∑i∂S∂qiq˙i=∂S∂t+∑ipiq˙i" role="presentation">dSdt=∂S∂t+∑i∂S∂qiq˙i=∂S∂t+∑ipiq˙idSdt=∂S∂t+∑i∂S∂qiq˙i=∂S∂t+∑ipiq˙i

\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial S}{\partial q_i}\dot{q}_i=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_ip_i\dot{q}_i另一方面，按照作用量的定义，有 dS/dt=LdS/dt=LdS/dt=L，两式对比，则有

∂S∂t=L−∑ipiq˙i=−H∂S∂t=L−∑ipiq˙i=−H

\frac{\partial S}{\partial t}=L-\sum_ip_i\dot{q}_i=-H所以如此定义的作用量的全微分可以写作

dS=∑ipidqi−HdtdS=∑ipidqi−Hdt

dS=\sum_ip_idq_i-Hdt这里的作用量 SSS是末端坐标和时间的函数，又叫做哈密顿主函数。

正则变换

给s" role="presentation" style="position: relative;">sss个广义坐标 qiqiq_i做变换， Qi=Qi(q,t)Qi=Qi(q,t)Q_i=Q_i(q,t)，则 sss个Qi" role="presentation" style="position: relative;">QiQiQ_i仍然是广义坐标，从而拉格朗日方程仍然成立（因为拉格朗日方程不依赖于广义坐标的选取），这种变换称为点变换。在哈密顿力学中， p,qp,qp,q都是平等的独立变量，因此变换还可以推广到 2s2s2s个，即从 p,qp,qp,q到新变量 P,QP,QP,Q

Qi=Qi(p,q,t),Pi=Pi(p,q,t)Qi=Qi(p,q,t),Pi=Pi(p,q,t)

Q_i=Q_i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t)但是作该变换以后，运动方程不一定具有正则形式：

Q˙i=∂H′∂Pi,P˙i=−∂H′∂QiQ˙i=∂H′∂Pi,P˙i=−∂H′∂Qi

\dot{Q}_i=\frac{\partial H'}{\partial P_i},\quad \dot{P}_i=-\frac{\partial H'}{\partial Q_i}而运动方程能保持这种结构的变换称之为正则变换。可见正则变换是需要一定条件的。这个条件就是

dF=∑ipidqi−∑iPidQi+(H′−H)dtdF=∑ipidqi−∑iPidQi+(H′−H)dt

dF=\sum_ip_idq_i-\sum_iP_idQ_i+(H'-H)dt其中 Pi,QiPi,QiP_i,Q_i是正则变换， H′H′H'是变换后的哈密顿函数， FFF是一个关于新老坐标、时间的函数，称之为变换的母函数。也就是说一个变换如果是正则变换，则上式的右端一定是某个函数的全微分。由上式可以看出

pi=∂F∂qi,Pi=−∂F∂Qi,H′=H+∂F∂t" role="presentation">pi=∂F∂qi,Pi=−∂F∂Qi,H′=H+∂F∂tpi=∂F∂qi,Pi=−∂F∂Qi,H′=H+∂F∂t

p_i=\frac{\partial F}{\partial q_i},\quad P_i=-\frac{\partial F}{\partial Q_i},\quad H'=H+\frac{\partial F}{\partial t}这里的母函数 F=F(q,Q,t)F=F(q,Q,t)F=F(q,Q,t)，也可以采用勒让德变换把母函数变成 q,Pq,Pq,P和 ttt的函数，为此把上面F" role="presentation" style="position: relative;">FFF的全微分 dFdFdF换成 d(F+∑iPiQi)d(F+∑iPiQi)d(F+\sum\limits_iP_iQ_i)得到

d(F+∑iPiQi)=∑ipidqi−∑iQidPi+(H′−H)dtd(F+∑iPiQi)=∑ipidqi−∑iQidPi+(H′−H)dt

d(F+\sum\limits_iP_iQ_i)=\sum_ip_idq_i-\sum_iQ_idP_i+(H'-H)dt上式表明左端是一个关于 q,P,tq,P,tq,P,t的函数，这个母函数记为 Φ(q,P,t)Φ(q,P,t)\Phi(q,P,t)，显然有

pi=∂Φ∂qi,Qi=∂Φ∂Pi,H′=H+∂Φ∂tpi=∂Φ∂qi,Qi=∂Φ∂Pi,H′=H+∂Φ∂t

p_i=\frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\quad Q_i=\frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\quad H'=H+\frac{\partial \Phi}{\partial t}需类似地母函数还有两个，一共四类母函数。

要注意的是，进行正则变换以后，哈密顿函数的形式会发生变化，上式最后一个式子表明母函数对时间的偏导数给出新老哈密顿函数的差值，如果选取的母函数不显含时间，则只需要将原哈密顿函数中的p,qp,qp,q代换成P,QP,QP,Q即可。

因为在一个正则变换Qk=Qk(p,q,t)Qk=Qk(p,q,t)Q_k=Q_k(p,q,t)中，即有动量参与，也有坐标参与，所以变换后的Q,PQ,PQ,P不在具有动量或坐标的意义，无法进行区分，所以称为正则共轭变量。另外，正则变换不改变泊松括号，即

[f,g]p,q=[f,g]P,Q[f,g]p,q=[f,g]P,Q

[f,g]_{p,q}=[f,g]_{P,Q}

最后，p,qp,qp,q的随时间的演化也可以归结为一种正则变换，变换的母函数就是−S−S-S。前面说，初始固定而末端变动的作用量函数SSS是末端时间和坐标的函数S=S(q,t)" role="presentation" style="position: relative;">S=S(q,t)S=S(q,t)S=S(q,t)，由此有作用量函数的全微分

dS=∑ipidqi−HdtdS=∑ipidqi−Hdt

dS=\sum_ip_idq_i-Hdt现在如果让初始端也变动（但固定时间差 ττ\tau），则作用量函数 SSS是初始状态qt" role="presentation" style="position: relative;">qtqtq_t、初始时刻 ttt、末尾状态qt+τ" role="presentation" style="position: relative;">qt+τqt+τq_{t+\tau}三者的函数，且明显有全微分式

dS=∑i(pt+τdqt+τ−ptdqt)−(Ht+τ−Ht)dtdS=∑i(pt+τdqt+τ−ptdqt)−(Ht+τ−Ht)dt

dS=\sum_i(p_{t+\tau}dq_{t+\tau}-p_tdq_t)-(H_{t+\tau}-H_t)dt对比第一类母函数，可以发现 −S−S-S是从 qt,ptqt,ptq_t,p_t到 qt+τ,pt+τqt+τ,pt+τq_{t+\tau},p_{t+\tau}的正则变换母函数。

哈密顿-雅克比方程

对于末端变化的作用量函数，前面已经得出

∂S∂t+H(q,p,t)=0∂S∂qi=pi∂S∂t+H(q,p,t)=0∂S∂qi=pi

\frac{\partial S}{\partial t}+H(q,p,t)=0\\\frac{\partial S}{\partial q_i}=p_i将后一式的 pipip_i代入前一式的哈密顿函数中去，得到

∂S∂t+H(q1,⋯,qs;∂S∂q1,⋯,∂S∂qs;t)=0∂S∂t+H(q1,⋯,qs;∂S∂q1,⋯,∂S∂qs;t)=0

\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_1,\cdots,q_s;\frac{\partial S}{\partial q_1},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_s};t\right)=0称为哈密顿-雅克比方程。观察该方程，它是一个偏微分方程，求微分的函数是 S(q,t)S(q,t)S(q,t)，自变量是 qiqiq_i和时间 ttt，而且是一阶的偏微分方程。考虑方程的全积分，应该含有s+1" role="presentation" style="position: relative;">s+1s+1s+1个任意常数，由于 S(q,t)S(q,t)S(q,t)仅以其导数的形式出现在方程中，所以这 s+1s+1s+1个任意常数中必然有一个是相加的：

S=f(t,q1,⋯,qs;α1,⋯,αs)+AS=f(t,q1,⋯,qs;α1,⋯,αs)+A

S=f(t,q_1,\cdots,q_s;\alpha_1,\cdots,\alpha_s)+A其中 α1,⋯,αsα1,⋯,αs\alpha_1,\cdots,\alpha_s和 AAA是这s+1" role="presentation" style="position: relative;">s+1s+1s+1个任意常数。现在用 αiαi\alpha_i作为 sss个新动量，用f" role="presentation" style="position: relative;">fff作为正则变换的母函数，则该母函数是第二类母函数。设正则变换带来的新坐标为 β1,⋯,βsβ1,⋯,βs\beta_1,\cdots,\beta_s，则按照正则变换，有

pi=∂f∂qi,βi=∂f∂αi,H′=H+∂f∂tpi=∂f∂qi,βi=∂f∂αi,H′=H+∂f∂t

p_i=\frac{\partial f}{\partial q_i},\quad\beta_i=\frac{\partial f}{\partial \alpha_i},\quad H'=H+\frac{\partial f}{\partial t}只看上面最后一个式子， ∂f∂t=∂S∂t=−H∂f∂t=∂S∂t=−H\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial S}{\partial t}=-H所以变换后的哈密顿函数 H′=0H′=0H'=0，从而根据哈密顿正则方程，有

α˙i=0⇒αi=constβ˙i=0⇒βi=constα˙i=0⇒αi=constβ˙i=0⇒βi=const

\dot{\alpha}_i=0\Rightarrow\alpha_i=\text{const}\\\dot{\beta}_i=0\Rightarrow\beta_i=\text{const}再回来看第二个式子（其实是 sss个式子）

βi=∂f∂αi" role="presentation">βi=∂f∂αiβi=∂f∂αi

\beta_i=\frac{\partial f}{\partial \alpha_i}可以将 sss个坐标qi" role="presentation" style="position: relative;">qiqiq_i用时间 ttt和2s" role="presentation" style="position: relative;">2s2s2s个常数 αi,βiαi,βi\alpha_i,\beta_i表示出来。所以哈密顿-雅克比方程也像拉格朗日方程或者哈密顿正则方程一样成为求解问题的基础方程。