算法 {哈密顿路径,哈密顿环}

@LOC_COUNTER = 2;

哈密顿路径,哈密顿环

定义

哈密顿路径;

对于一个有N个点的图(有向无向均可), 如果一条路径经过了图中所有点1,2,...,N 恰好一次, 则该路径为哈密顿路径;

有哈密顿路径的图, 称为 半哈密顿图;

@DELI;

哈密顿环;

对于一个有N个点的图(有向无向均可), 如果一个环经过了图中所有点1,2,...,N 恰好一次, 则该路径为哈密顿环;

有哈密顿环的图, 称为 哈密顿图;

解释

哈密顿要求的是: 经过所有点恰好经过一次, 每个点不可以经过 > 1 > 1 >1次;
. 比如 N = 3 N=3 N=3, 那么 1 − 2 − 1 − 3 1-2-1-3 1−2−1−3 就不是个哈密顿路径;

否则如果点可以经过多次那也太简单了…

对于哈密顿路径, 你可以想象成: 当你从a移动到b时, 要将a这个点(和他所有的邻接边) 全部删除掉;
. 一定不会重复经过同一条边;

对于哈密顿环, b e g − . . . − b e g beg - ... - beg beg−...−beg 你可以想象成: 当你从a移动到b时(且 a ≠ b e g a \neq beg a=beg), 要将a这个点(和他所有的邻接边) 全部删除掉 (因为是环最终你还要回到 b e g beg beg 因此不能把起点给删除掉);
. 对于有向图, 哈密顿环一定不会重复经过同一条边;
. 对于 N = 2 N=2 N=2的无向图哈密顿环可能会重复经过同一条边 (比如 a − b a-b a−b图, 那么 a − b − a a-b-a a−b−a是哈密顿环同一条边经过了2次); 对于 N > 2 N>2 N>2的无向图哈密顿环一定不会重复经过同一条边;

@DELI;

哈密顿路径和欧拉路径, 都是一条路径, 一个是要经过所有点一次, 一个是要经过所有边一次;

求最短哈密顿路径

定义

给定一个N(大约20)个点的图, 求以1为起点以N为终点的最短哈密顿路径;

题解

-{ 超时算法;

枚举所有1 - (...) - N的路径, 这一共有 ( N − 2 ) ! (N-2)! (N−2)!条路径会超时;

MAKR: @LOC_0;

状压DP, 0110101表示所有由1,3,5,6组成的哈密顿路径 (且以1为起点) (比如1356, 1536, 1635,... 总之每个点必须只经过一次); 再设置一个维度来表示终点, 比如(0110101, 3)表示一切形如1 (5,6) 3的路径 (中间可以是5-6 也可以是6-5);

集合划分: 去掉当前终点后, 再枚举他的前驱节点;

    //> (1,?) 路径长度为1DP[ 1][ 0] = 0;//> ({3/5/9...}, ?) 路径长度为2for( int j = 1; j < N; ++j){int i = (1 << j) | 1;DP[ i][ j] = Edge[ j][ 0];}//> 路径长度 >= 3for( int i = 7; i < (1 << N); i += 2){if( __Tools::Get_bitCount( i) < 3) continue;for( int j = 1; j < N; ++j){if( (i >> j & 1) == 0) continue;auto & curDP = DP[ i][ j];curDP = 0x3F3F3F3F;//--auto pre = i ^ (1 << j);for( int p = 1; p < N; ++p){ // 注意这里跳过了`0`, 这就是为什么我们对*路径长度为2*的 给预处理了;if( (pre >> p & 1) == 0) continue;__Tools::Min_self_( curDP, DP[ pre][ p] + Edge[ p][ j]);}}}cout<< DP[ (1<< N) - 1][ N-1];

性质

@DELI;

MARK: @LOC_1;

比较下: 哈密顿的状压DP 和精确覆盖问题的状压DP;

精确覆盖问题: LINK: (https://editor.csdn.net/md/?not_checkout=1&articleId=131009658)-(@LOC_2);

两者有相似之处: (答案只关注[(1<<N)-1]这个状态, 别的不在乎), (假如把哈密顿的点当做是列, 都是要覆盖所有列一次);

精确覆盖的状压DP, 他的cur -> nex的递推, (令col为cur中第一个0的下标), 可以只遍历col为1的那些行 (不需要遍历所有行, 具体可以看上面的链接);

而这里哈密顿路径, 如果也采用cur -> nex的递推方式, 他能否也进行这个优化呢? (即nex = cur | (1 << ind) 其中ind为cur中第一个0的下标), 标准做法是这个ind 要遍历所有的 为0的下标;

举个例子, 00111 使用这个优化只会更新01 111这个状态, 也就是 10 111这个状态一定是非法的;
. 这在覆盖问题是没问题的, 因为最终答案11 111 可以通过00 111 -> 01 111 -> 11 111的方式获得;
. 但是在这里, 哈密顿路径是要有次序的 即他的所有列是有次序的, 你得不到10 111这个状态就意味着一定不会得到形如(123) - (5)这种的路径; 而答案11 111 他是跟次序有关系的, 比如答案就是1-2-3 - 5 - 4, 那么你是得不到的;

因此, DP的优化这还是得看DP的定义, 虽然我们知道 DP的集合元素一定是序列 (也就是, DAG上的路径他自然是序列), 但是不代表 DP的定义一定是线性的序列的, 也就是答案从DP本质讲是个序列, 但是不同的DP定义可能跟序列没有关系这个答案序列变成集合也可以;

在覆盖问题, 11 111就表示若干个行他们的|操作等于11 111 即覆盖所有的行, 比如答案是11000, 00111这两个行, (按照上面讲的状压DP的优化) 他的答案序列一定是[00111, 11000] (不会是[11000, 00111]), 但是其实答案跟序列没有关系, 你把他变成集合 {11000, 00111} 也是正确的;
正因为此, 即答案跟序列的次序没有关系, 即[a,b,c], [c,b,a] [b,a,c], ...这些序列 是等价的 (因为答案只关心序列里元素的个数), 把他们变成统一的一个集合 {a,b,c} 是可以的不影响答案; 因此, 才可以进行这个优化 (即00111 只更新01111 不更新10111 (这个状态实际是合法的, 但在我们的DP里他就是非法的)), 从而优化时间;

但是在这里哈密顿距离, 答案跟序列的次序是有关系的, 序列[a,b,c] [c,b,a] 代表2个不同的路径他俩的路径长是不一样的 (而答案就是求的路径长), 因此你不能把他们混成一谈{a,b,c}, 也就不能进行那个优化了;

例题

LINK: https://www.acwing.com/problem/content/description/93/;