一、静态最优化问题的解

1.多元函数的极值

J=f(u)J=f(u)J=f(u)取极值的充分必要条件：
必要条件：∂f∂u=0\frac{\partial f}{\partial u}=0∂u∂f=0
充分条件：∂2f∂u2>0\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}>0∂u2∂2f>0

2.具有等式约束条件的极值

1.嵌入法
2.拉格朗日乘子法
原函数J=f(x,u)J=f(x,u)J=f(x,u)
等式约束条件g(x,u)=0g(x,u)=0g(x,u)=0
构造拉格朗日函数：
H=J+λg(x,u)H=J+\lambda g(x,u)H=J+λg(x,u)
H取极值的必要条件∂H∂u=0;∂H∂x=0;∂H∂λ=0\frac{\partial H}{\partial u}=0 ;\frac{\partial H}{\partial x}=0;\frac{\partial H}{\partial \lambda}=0∂u∂H=0;∂x∂H=0;∂λ∂H=0

二、泛函及其极值——变分法

1.基本概念

对于自变量x，存在一类函数y(x){y(x)}y(x),对于每个y(x)y(x)y(x),有一个J值与之对应，则变量J称为依赖于函数y(x)y(x)y(x)的泛函数，记作J[y(x)]J[y(x)]J[y(x)]
自变量x称为宗量
y(x)y(x)y(x)称为宗量函数
J[y(x)]J[y(x)]J[y(x)]称为宗量函数的泛函

若泛函在任何一条与y0(x)y_0(x)y0(x)接近的曲线上都有
ΔJ=J[y(x)]−J[y0(x)]≥0\Delta J=J[y(x)]-J[y_0(x)]\geq0ΔJ=J[y(x)]−J[y0(x)]≥0
则J在y0(x)y_0(x)y0(x)上达到极小值
求泛函的极值问题称为变分问题，其方法为变分法

ΔJ=J[y(x)+δy(x)]−J[y(x)]=L[y(x),δy(x)]+R[y(x),δy(x)]\Delta J=J[y(x)+\delta y(x)]-J[y(x)]=L[y(x),\delta y(x)]+R[y(x),\delta y(x)]ΔJ=J[y(x)+δy(x)]−J[y(x)]=L[y(x),δy(x)]+R[y(x),δy(x)]
泛函的一阶变分：δJ=L[y(x),δy(x)]\delta J=L[y(x),\delta y(x)]δJ=L[y(x),δy(x)]
泛函的变分也可以用下式进行计算：
δJ=∂J[y(x)+aδy(x)]∂a∣a=0\delta J=\frac{\partial J[y(x)+a\delta y(x)]}{\partial a}|_{a=0}δJ=∂a∂J[y(x)+aδy(x)]∣a=0

2.泛函极值的必要条件——欧拉方程

设泛函J(x)=∫t0tfL[x,x˙,t]dtJ(x)=\int^{t_f}_{t_0}L[x,\dot x,t]dtJ(x)=∫t0tfL[x,x˙,t]dt
欧拉方程为：
∂L∂x−ddt∂L∂x˙=0\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=0∂x∂L−dtd∂x˙∂L=0
横截条件为：
∂L∂x˙δx∣t0tf=0{\frac{\partial L}{\partial \dot x}\delta x}|^{t_f}_{t_0}=0∂x˙∂Lδx∣t0tf=0
固定端点：δx(t0)=0,δx(tf)=0\delta x(t_0)=0,\delta x(t_f)=0δx(t0)=0,δx(tf)=0
两端自由：δx(t0)≠0,δx(tf)≠0\delta x(t_0)\not =0,\delta x(t_f)\not =0δx(t0)=0,δx(tf)=0
∂L∂x˙∣t0=0;∂L∂x˙∣tf=0\frac{\partial L}{\partial \dot x}|_{t_0}=0;\frac{\partial L}{\partial \dot x}|_{t_f}=0∂x˙∂L∣t0=0;∂x˙∂L∣tf=0

3.可变端点问题

例如：始端固定，终端可沿着靶线c(t)c(t)c(t)变动
欧拉方程不变
终端横截条件：L+[C˙(t)−x˙]∂L∂x˙∣t=tf=0{L+[\dot C(t)-\dot x]\frac{\partial L}{\partial \dot x}}|_{t={t_f}}=0L+[C˙(t)−x˙]∂x˙∂L∣t=tf=0
若终端固定，始端可沿着靶线D(t)D(t)D(t)变动
则有L−[x˙−D˙(t)]∂L∂x˙∣t=t0=0{L-[\dot x-\dot D(t)]\frac{\partial L}{\partial \dot x}}|_{t={t_0}}=0L−[x˙−D˙(t)]∂x˙∂L∣t=t0=0

4.具有综合性能泛函的情况

终端条件改为∂L∂x˙∣tf=−∂ϕ(x)∂x\frac{\partial L}{\partial \dot x}|_{t_f}=-\frac{\partial \phi(x)}{\partial x}∂x˙∂L∣tf=−∂x∂ϕ(x)

三、有约束条件的泛函极值

1.拉格朗日问题

1.写出约束方程：
f(x,u,t)−x˙(t)=0f(x,u,t)-\dot x(t)=0f(x,u,t)−x˙(t)=0
2.写出增广泛函：
J′=∫t0tf{L(x,u,t)+λT[f(x,u,t)−x˙]}dtJ^{'}=\int ^{t_f}_ {t_0}\{L(x,u,t)+\lambda^T[f(x,u,t)-\dot x]\}dtJ′=∫t0tf{L(x,u,t)+λT[f(x,u,t)−x˙]}dt
令H=L(x,u,t)+λT[f(x,u,t)]H=L(x,u,t)+\lambda^T[f(x,u,t)]H=L(x,u,t)+λT[f(x,u,t)]哈密顿函数
则J′=∫t0tf{H−λT[x˙]}dtJ^{'}=\int ^{t_f}_ {t_0}\{H-\lambda^T[\dot x]\}dtJ′=∫t0tf{H−λT[x˙]}dt
3泛函极值的必要条件
哈密顿正则方程：
x˙=∂H∂λ\dot x=\frac{\partial H}{\partial \lambda} x˙=∂λ∂H
λ˙=−∂H∂x\dot \lambda=-\frac{\partial H}{\partial x} λ˙=−∂x∂H
控制方程
∂H∂u=0\frac{\partial H}{\partial u}=0 ∂u∂H=0
横截条件
(δx)Tλ∣t0tf=0(\delta x)^T\lambda|^{t_f}_{t_0}=0(δx)Tλ∣t0tf=0
求最优控制的步骤
1.写出哈密顿函数
2.由控制方程∂H∂u=0\frac{\partial H}{\partial u}=0∂u∂H=0写出u∗(x,λ)u^{*}(x,\lambda)u∗(x,λ)
3.将u∗u^*u∗代入正则方程求出x∗,λ∗x^*,\lambda^*x∗,λ∗
4.利用边界条件定解

2.波尔扎问题

1.构造增广泛函
J′=∫t0tf{H−λT[x˙]}dt+Φ[x(tf),tf]+μN[x(tf),tf]J^{'}=\int ^{t_f}_ {t_0}\{H-\lambda^T[\dot x]\}dt+\Phi [x(t_f),t_f]+\mu N[x(t_f),t_f]J′=∫t0tf{H−λT[x˙]}dt+Φ[x(tf),tf]+μN[x(tf),tf]
2.泛函极值的必要条件
正则方程控制方程如上
3.边界与横截条件

四、极小值原理

u满足不等式约束条件g(x,u,t)≥0g(x,u,t)\geq 0g(x,u,t)≥0
1.引入哈密顿函数
2.正则方程
x˙=∂H∂λ\dot x=\frac{\partial H}{\partial \lambda} x˙=∂λ∂H
λ˙=−∂H∂x−∂g∂xγ\dot \lambda=-\frac{\partial H}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial x}\gamma λ˙=−∂x∂H−∂x∂gγ
3.对于最优控制u,H取绝对极小值
4.边界条件求解

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