相对论通俗演义（1-10） 第十章
第十章 宇宙学之一
（1）
爱因斯坦把他的方程写出来以后，开始考虑的一件事情是如何从他的方程得到我们生活其中的宇宙。爱因斯坦的雄才大略在这一件事情上体现得淋漓尽致。这种气质在科学家中是极其少见的，赫胥利《天演论》第一句也有过类似的气质：“赫胥黎独处一室之中，在英伦之南，背山而面野，槛外诸境，历历如在机下。乃悬想二千年前，当罗马大将恺彻未到时，此间有何景物？计惟有天造草昧……”
爱因斯坦也是这样，他要在斗室之中，通晓天地之变，阴阳之道，但他用的是数学方法做《天演论》。
宇宙是一个四维流形，要研究它的演化，就是要研究3维空间超曲面如何在时间里演化。演化要满足爱因斯坦方程。除了爱因斯坦方程，3维空间超曲面上的初始数据,也就是曲率和外曲率，与四维时空的曲率，相互之间要满足微分几何里的高斯-科达奇方程。对于真空爱因斯坦方程来说，高斯方程表示哈密顿约束，而科达奇方程象征着空间微分同胚约束，是4维广义相对论的对称性的体现。广义相对论的对称性，就是广义协变性，或者称为微分同胚不变性。微分同胚群是无限维的，研究起来非常复杂，圈量子引力要保持这样的群，也就是要保持这样的对称性，所以明显不同于弦论，这是弦论和圈论之争的本质。
广义相对论一直被誉为最美丽的理论，爱因斯坦也被认为是人类历史上最伟大的科学家，他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个函数，这个想法是很自然的。函数也就是标量场，在广义相对论中，标量场神出鬼没，成就了一批又一批的文章。那么广义相对论最重要的品质是什么？这个品质就是上面所说的微分同胚不变性。
但在广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量
g＿ab。Ｍ在没有g＿ab的时候，仅仅是一个微分流形，它上面是没有距离概念的，也没有光锥结构，也就是没有过去和未来这样的因果结构。Ｍ仅仅是一个微分拓扑空间，可能把它想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分结构。至于它上面有多少光滑的微分结构，这个问题就过于艰深了。一般地说，在最简单的4维平坦Minkowski流形上，唐纳森用yang-mills场论的方法证明，上面有无穷多个微分结构。这个工作得到Fields奖，也将会名垂青史。
那么，Ｍ上的所有微分同胚变换是不是构成一个李群？答案是肯定的，但是，这个diff（M）李群是无限维的，这有一点不象su（2）那样简单，su（2）李群是3维的。在圈量子引力中，su（2）群上的平方可积函数空间是一个希尔伯特空间，内积通过海尔测度定义。但对于diff（M）李群，因为它无限维，所以不存在海尔测度，圈量子引力再次遇见困难。
（2）
在相对论里，度量
g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相合变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。
是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。
Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。宇宙是有时间的，比如热力学时间箭头或电磁辐射时间箭头等等，全是浮现在宇宙大海之上的航标，如何正确地用纯几何来定义时间也是广义相对论中的大问题了。宇宙在演化，它由熵为零的状态变大熵增加的状态。如果宇宙最初是最大对称的，那么它可以是德西特宇宙或者反德西特宇宙，正两种宇宙全是共形平坦的，所以外尔曲率退化为零。当宇宙最后发生大挤压，外尔曲率发散，熵也发散了。penrose认为，外尔曲率的演化可以表示宇宙的时间，这就是极其著名的外尔曲率猜想，也就是用几何的方法来表示宇宙的时间。
（3）
哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它涉及到宇宙的空间部分，该原理说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是微波背景辐射。当然这个背景也不是绝对均匀的。但在数学上，这样的空间就是最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，它的空间部分到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。在中国古代，就有《天问》的说法，这是一种十分好奇的一种心态。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，拓扑只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1,
H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially
homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。poincare猜想最近声称被perelman证明，其中用到Ricci flow方法，Ricci flow方程为
d/dt g-ij=-2R-ij。其实就是物理上的热传导方程。历史地看，毕达哥拉斯最早知道，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成南柯一梦。
话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。
RW度量可以描述我们的宇宙，但它与爱因斯坦方程没有从属关系，也就是说，即使爱因斯坦方程不对，RW度量也可以是正确的。它们两个的地位独立,类似于男人和女人的关系，男人和女人的结合，出来的结果是一个婴孩，就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么样子在膨胀。因为单知道膨胀是不够。现在发现膨胀是加速的，宇宙学就会给现在的科学提出一个大问题。这个问题总得来说是与暗物质和暗能量有关系。李政道曾经提过21世纪的物理学的大问题，暗物质暗能量好象也是其中之一，其他他说的好象有夸克幽禁和渐近自由。渐近自由理论已经得到诺贝尔物理奖。同样，暗物质暗能量问题一旦解决，肯定也能得到诺贝尔物理奖。在相对论领域，能够得诺贝尔物理奖的还有引力波或者引力子的发现。不说诺贝尔物理奖，宇宙学的这个问题可以与生命的起源，DNA的编排，生物为什么必然要死亡等问题类比，是文明的指标。
莎士比亚有一个很精彩很著名的句子，好象是说：“死掉还是活着，这是一个问题！”对于宇宙来讲，死掉还是活着这同样也是一个问题。
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