水平集方法框架

水平集方法是现代图像处理中很重要的一个方法，为了说清楚这个东西，我们先介绍几个基本的概念。

零水平集

对于一个函数 ϕ(x⃗)：Rn→R\phi(\vec x)：{\mathbf{R}^n}\rightarrow \mathbf{R}ϕ(x)：Rn→R（其中x⃗∈Rn\vec x \in {\mathbf{R}^n}x∈Rn ，下同），取其值域为零部分对应的定义域：
Γ={x⃗∣ϕ(x⃗)=0}\Gamma = \{ \vec x|\phi (\vec x) = 0\}Γ={x∣ϕ(x)=0}
这里， Γ∈Rn−1\Gamma \in {\mathbf{R}^{n-1}}Γ∈Rn−1 称为函数 ϕ\phiϕ 的零水平集，反之， ϕ\phiϕ 称为 Γ\GammaΓ 的一个水平集函数。

通俗地说，函数的水平集是这个函数在某个高度上所有点的一个集合。函数的零水平集有一些良好的性质，在如下图所示的曲面演化问题中，

n⃗\vec nn 为外法线向量， Γ\GammaΓ 为演化曲线。我们不妨假设有函数 ϕ(x⃗)\phi(\vec x)ϕ(x)，它的零水平集为 Γ\GammaΓ ，并且满足，
{ϕ>0x⃗∈Γinϕ<0x⃗∈Γout\left\{ \begin{aligned} &\phi > 0&&\vec x \in {\Gamma_{in}}\\ &\phi < 0&&\vec x \in {\Gamma_{out}}\\ \end{aligned} \right.{ϕ>0ϕ<0x∈Γinx∈Γout
这里， Γin\Gamma_{in}Γin 表示 Γ\GammaΓ 内部， Γout\Gamma_{out}Γout 表示 Γ\GammaΓ 外部。那么，对于任意的 x⃗∈Γ\vec x \in \Gammax∈Γ ， ϕ\phiϕ 有如下两个性质：

∇ϕ∣∇ϕ∣=−n⃗\frac{{\nabla \phi }}{{|\nabla \phi |}} = - \vec n∣∇ϕ∣∇ϕ=−n
证明：
如图所示，设 s⃗\vec ss 为零水平集 Γ\GammaΓ 的切线方向， ϕ\phiϕ 在 Γ\GammaΓ 沿切线方向上恒为零，故有：
∂ϕ∂s=0\frac{{\partial \phi }}{{\partial s}} = 0∂s∂ϕ=0 由链式法则，可得：
ϕs(x⃗)=∇ϕ⋅x⃗s=0{\phi _s}(\vec x) = \nabla \phi \cdot {{\vec x}_s} = 0ϕs(x)=∇ϕ⋅xs=0
由此可知 ∇ϕ\nabla \phi∇ϕ 与切向垂直，对 ∇ϕ\nabla \phi∇ϕ 进行单位化并根据 ϕ\phiϕ 内正外负的情况取符号，即得：
∇ϕ∣∇ϕ∣=−n⃗\frac{{\nabla \phi }}{{|\nabla \phi |}} = - \vec n∣∇ϕ∣∇ϕ=−n
div(∇ϕ∣∇ϕ∣)=−κ{\rm{div}}(\frac{{\nabla \phi }}{{|\nabla \phi |}}) = -\kappadiv(∣∇ϕ∣∇ϕ)=−κ
证明：
ϕs\phi_sϕs 在 Γ\GammaΓ 沿切线方向上恒为零，故有： ϕss=0\phi_{ss}=0ϕss=0 ，由链式法则，可知：
ϕss(x⃗)=∂∂s(∇ϕ⋅x⃗s)=∂∂s∇ϕ⋅x⃗s+∇ϕ⋅x⃗ss{\phi _{ss}}(\vec x) = \frac{\partial }{{\partial s}}(\nabla \phi \cdot {{\vec x}_s}) = \frac{\partial }{{\partial s}}\nabla \phi \cdot {{\vec x}_s} + \nabla \phi \cdot {{\vec x}_{ss}}ϕss(x)=∂s∂(∇ϕ⋅xs)=∂s∂∇ϕ⋅xs+∇ϕ⋅xss
由曲率的定义，有 x⃗ss=−κn⃗\vec x_{ss}=-\kappa \vec nxss=−κn ，由性质 [xz1] ，有 ∇ϕ⋅n⃗=−∣∇ϕ∣\nabla \phi \cdot \vec n = -|\nabla \phi|∇ϕ⋅n=−∣∇ϕ∣ ，代入上式，移项，可得：
−κ∣∇ϕ∣=∂∂s∇ϕ⋅x⃗s- \kappa |\nabla \phi | = \frac{\partial }{{\partial s}}\nabla \phi \cdot {{\vec x}_s}−κ∣∇ϕ∣=∂s∂∇ϕ⋅xs
将上式左端展开，即证。

水平集方程

如下图所示，

我们将演化曲线上各点的速度分解到法线方向和切线方向，切线方向的速度不影响曲线几何形状的改变，所以，考虑由曲率驱动的曲线演化问题时，我们可以只考虑曲线上的点沿法向的速度。我们现在寻找一个发展方程 ϕ(x⃗(t),t)\phi(\vec x(t),t)ϕ(x(t),t) ，使得在每一个时刻 ttt ，它的零水平集 Γ(t)\Gamma(t)Γ(t) 恰好是曲线在不同的时刻的状态。

如上图所示，曲线上任意一点从当前时刻到下一个时刻，始终保持 ϕ(x⃗(t),t)=0\phi(\vec x(t),t)=0ϕ(x(t),t)=0 ，故对一个特定的时刻 ttt ，对任意 x⃗∈Γ(t)\vec x \in \Gamma(t)x∈Γ(t) ，有以下式子成立：
∂ϕ(x⃗,t)∂t=0\frac{{\partial \phi (\vec x,t)}}{{\partial t}} = 0∂t∂ϕ(x,t)=0
使用链式法则，可以得到：
∂ϕ(x⃗,t)∂t+∂ϕ(x⃗,t)∂x⃗⋅∂x⃗∂t=0\frac{{\partial \phi (\vec x,t)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \phi (\vec x,t)}}{{\partial \vec x}} \cdot \frac{{\partial \vec x}}{{\partial t}} = 0∂t∂ϕ(x,t)+∂x∂ϕ(x,t)⋅∂t∂x=0
如图所示，我们将 ttt 时刻， Γ\GammaΓ 曲线上的点的速度 v⃗\vec vv 分解为沿外法线方向的速度 v⃗n\vec v_nvn 和切线方向速度 v⃗s\vec v_svs ，用 vnv_nvn 表示 v⃗n\vec v_nvn 的大小，负值表示方向为内法线方向。容易知道， x⃗t=v⃗\vec x_t = \vec vxt=v ，再由之前的式子，那么上式可变为：
ϕt(x⃗,t)−vn∣∇ϕ(x⃗,t)∣=0{\phi _t}(\vec x,t) - {v_n}|\nabla \phi (\vec x,t)| = 0ϕt(x,t)−vn∣∇ϕ(x,t)∣=0
此方程是一个特殊的哈密顿-雅克比方程（Hamilton-Jacobi Equation），一般就称之为水平集方程，需要注意的是，此时方程中的 x⃗∈Γ(t)\vec x \in \Gamma(t)x∈Γ(t) 。结合给定的初始曲线，那么曲线演化问题就转化为了解下面一个偏微分方程：
{ϕt(x⃗,t)−vn∣∇ϕ(x⃗,t)∣=0x⃗∈Γ(t),t>0Γ(0)={x⃗∣ϕ(x⃗,0)=0}\left\{ \begin{aligned} &{\phi _t}(\vec x,t) - {v_n}|\nabla \phi (\vec x,t)| = 0&\vec x \in \Gamma(t),t>0\\ &\Gamma(0)=\{\vec x|\phi(\vec x,0)=0\}\\ \end{aligned} \right.{ϕt(x,t)−vn∣∇ϕ(x,t)∣=0Γ(0)={x∣ϕ(x,0)=0}x∈Γ(t),t>0

符号距离函数

符号距离函数（Signed Distance Function）是一个水平集函数，它给定了点到某条曲线上距离这个点最近点的距离，也可以说是这个点离曲线的最短距离，它在数学上可以这样表述：

在某区域上给定一条曲线 Γ\GammaΓ ，定义与之相关的函数：
d(Γ,x⃗)={min⁡y⃗∈Γ∣x⃗−y⃗∣x⃗∈Γin−min⁡y⃗∈Γ∣x⃗−y⃗∣x⃗∉Γind(\Gamma,\vec x)= \left\{ \begin{aligned} \mathop {\min }\limits_{\vec y \in \Gamma } |\vec x - \vec y| & & &\vec x \in \Gamma_{in}\\ -\mathop {\min }\limits_{\vec y \in \Gamma } |\vec x - \vec y|& & &\vec x \notin \Gamma_{in}\\ \end{aligned} \right.d(Γ,x)=⎩⎪⎨⎪⎧y∈Γmin∣x−y∣−y∈Γmin∣x−y∣x∈Γinx∈/Γin
Γin\Gamma_{in}Γin 指 Γ\GammaΓ 内部，二维情况下， x⃗∈R2，y⃗∈R2\vec x \in \mathbf{R}^2 \text{，} \vec y\in \mathbf{R}^2x∈R2，y∈R2 ，那么称 ddd 为一个符号距离函数，下面把符号距离函数也简称为 SDF 。

符号距离函数有很多良好的性质，包括在边界上的几乎处处可微，关于凸区域的凸性，以及不同符号距离函数之间和差运算的一些性质，作为重点，列以下两条关于单位法向量和平均曲率的性质：

对于任意的 x⃗∈Γ\vec x \in \Gammax∈Γ ∣∇d∣=1|\nabla d| = 1∣∇d∣=1 这也是符号距离函数的一个判断条件，它是充要的。这里的充分性怎么理解？指的是对任意水平集曲线上的点都要满足。
对于任意的 x⃗∈Γ\vec x \in \Gammax∈Γ ，由水平集函数的性质可得：
∇d=−n⃗⋅∣∇d∣=−n⃗Δd=−κ∣∇d∣=−κ\begin{aligned} &\nabla d = - \vec n \cdot |\nabla d|=-\vec n &\\ &\Delta d = - \kappa |\nabla d| = - \kappa & \end{aligned}∇d=−n⋅∣∇d∣=−nΔd=−κ∣∇d∣=−κ

以上便是水平集方法的一些相关的基础知识。

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