数学分析笔记——总目录

文章目录

收敛数列的性质
- 数列极限的唯一性
- 收敛数列的有界性
- 数列极限的保序性
- 数列极限的夹逼性
- 数列极限的运算性质——四则运算
- - 数列极限的和、差运算
  - 数列极限的乘运算
  - 数列极限的商运算
- 参考文献

收敛数列的性质

\quad这一节，介绍收敛数列的一些性质。

数列极限的唯一性

定理 1（唯一性）：收敛数列的极限必定唯一。

证明 1：

\quad设收敛数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限为 aaa，下面证明任何数 b≠ab\ne ab=a 都不是该数列的极限。

\quad 取 ϵ0=12∣b−a∣\epsilon_0 = \frac{1}{2}\left|b-a\right|ϵ0=21∣b−a∣，由数列极限的定义知，在邻域 U(a;ϵ0)U(a;\epsilon_0)U(a;ϵ0) 外至多含有数列 {xn}\{x_n\}{xn} 中的有限多项，因而邻域 U(b,ϵ0)U(b,\epsilon_0)U(b,ϵ0) 中仅含有数列 {xn}\{x_n\}{xn} 中的有限项，由数列极限的等价定义， bbb 不是数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限。因此收敛数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限唯一。

证毕

注：证明1的图示如下。

证明 2：

\quad 设收敛数列 {xn}\{x_n\}{xn} 存在极限 a,ba,ba,b，按照数列极限的定义，∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，
∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ2;∃N2∈N+,∀n>N2:∣xn−b∣<ϵ2,\exists N_{1} \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_1:\left|x_n-a\right| < \frac{\epsilon}{2};\quad \exists N_{2} \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_2:\left|x_n-b\right| < \frac{\epsilon}{2}, ∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<2ϵ;∃N2∈N+,∀n>N2:∣xn−b∣<2ϵ,
\quad 取 N=max⁡{N1,N2}N=\max \{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，利用三角不等式，当 n>Nn>Nn>N 时，成立
∣a−b∣=∣(a−xn)+(xn−b)∣≤∣xn−a∣+∣xn−b∣<ϵ2+ϵ2=ϵ\left|a-b\right|=\left|(a-x_n)+(x_n-b)\right| \le \left|x_n-a\right|+\left|x_n-b\right|< \frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} =\epsilon ∣a−b∣=∣(a−xn)+(xn−b)∣≤∣xn−a∣+∣xn−b∣<2ϵ+2ϵ=ϵ
由于 ϵ\epsilonϵ 可任意接近 000，因此 a=ba=ba=b。

证毕

收敛数列的有界性

定理 2（有界性）：收敛数列必定有界。

证明：

设收敛数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限为 aaa，取 ϵ=1\epsilon=1ϵ=1，则存在N∈N+N \in \mathbb{N}^{+}N∈N+，使得当 n>Nn>Nn>N 时，有：
∣xn−a∣<ϵ=1,\left|x_n-a\right|<\epsilon=1, ∣xn−a∣<ϵ=1,
即当 n>Nn>Nn>N 时，
a−1<xn<a+1.a-1<x_n<a+1. a−1<xn<a+1.
\quad 取 M=max⁡{∣a1∣,∣a2∣,⋯,∣aN∣,∣a−1∣,∣a+1∣}M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a-1|,|a+1|\}M=max{∣a1∣,∣a2∣,⋯,∣aN∣,∣a−1∣,∣a+1∣}，显然对于任意的 n∈N+n \in \mathbb{N}^{+}n∈N+ ，成立：
∣xn∣≤M.\left|x_n\right| \le M. ∣xn∣≤M.

因此，收敛数列 {xn}\{x_n\}{xn} 有界。

证毕

注：收敛数列必定有界，但有界数列未必收敛。

【示例】：数列 {(−1)n}\{(-1)^{n}\}{(−1)n} 满足有界条件 ∣(−1)n∣≤1,n=1,2,⋯|(-1)^{n}|\le 1,n=1,2,\cdots∣(−1)n∣≤1,n=1,2,⋯，但数列发散。

数列极限的保序性

定理 3（保序性）：设 {xn}\{x_n\}{xn}、yn{y_n}yn 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞xn=b\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=bn→∞limxn=b，若a<ba<ba<b，则存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立
xn<yn.x_n < y_n. xn<yn.

证明：

\quad根据数列极限的定义，取 ϵ=b−a2\epsilon=\frac{b-a}{2}ϵ=2b−a，则：
∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ=b−a2⟹xn<a+ϵ=a+b−a2=a+b2,\exists N_1 \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_1:|x_n-a|<\epsilon=\frac{b-a}{2} \Longrightarrow x_n <a+\epsilon=a+\frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}, ∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ=2b−a⟹xn<a+ϵ=a+2b−a=2a+b,

∃N2∈N+,∀n>N2:∣yn−b∣<ϵ=b−a2⟹yn>b−ϵ=b−b−a2=a+b2.\exists N_2 \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_2:|y_n-b|<\epsilon=\frac{b-a}{2} \Longrightarrow y_n >b-\epsilon=b-\frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}. ∃N2∈N+,∀n>N2:∣yn−b∣<ϵ=2b−a⟹yn>b−ϵ=b−2b−a=2a+b.

\quad取 N=max⁡{N1,N2}N=\max \{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，当 n>Nn>Nn>N 时，成立
xn<a+b2<yn.x_n<\frac{a+b}{2}<y_n. xn<2a+b<yn.

证毕

推论 1：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=an→∞limxn=a，若 a<0a<0a<0，则存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立
xn<a2<0.x_n<\frac{a}{2}<0. xn<2a<0.
推论 2：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=an→∞limxn=a，若 a>0a>0a>0，则存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立
xn>a2>0.x_n>\frac{a}{2}>0. xn>2a>0.
证明：推论 1、2 均是定理 3 中相比数列为值为 000 的常数列的特殊情形。

注意：若 {xn}\{x_n\}{xn}、{yn}\{y_n\}{yn} 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=an→∞limxn=n→∞limyn=a，无法判定 xnx_nxn 与 yny_nyn 的大小情况。

【示例】：数列 {1n}\{\frac{1}{n}\}{n1} 、数列 {1n3}\{\frac{1}{n^3}\}{n31}、数列 {1n2}\{\frac{1}{n^2}\}{n21} 均收敛，且极限值均为 000。

推论 3：设 {xn}\{x_n\}{xn}、yn{y_n}yn 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞xn=b\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=bn→∞limxn=b，若存在某个正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，xn<ynx_n<y_nxn<yn，则
a≤b.a \le b. a≤b.
证明：反证法。

\quad假定 a>ba>ba>b，则由数列极限的保序性定理 3，存在正整数 N1N_1N1，使得当 n>N1n>N_1n>N1 时，成立 xn>ynx_n>y_nxn>yn，又因为存在某个正整数 N2N_2N2，使得当 n>N2n>N_2n>N2 时，xn<ynx_n<y_nxn<yn，取 N=max⁡{N1,N2}N=\max \{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，则当 n>Nn>Nn>N 时既有 xn>ynx_n>y_nxn>yn，又有 xn<ynx_n<y_nxn<yn，从而产生矛盾，因此 a≤ba \le ba≤b。

证毕

推论 4：设 {xn}\{x_n\}{xn}、yn{y_n}yn 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞xn=b\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=bn→∞limxn=b，若存在某个正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，xn≤ynx_n \le y_nxn≤yn，则
a≤b.a \le b. a≤b.
证明 1：反证法（同推论 3的证明）

\quad假定 a>ba>ba>b，则由数列极限的保序性定理 3，存在正整数 N1N_1N1，使得当 n>N1n>N_1n>N1 时，成立 xn>ynx_n>y_nxn>yn，又因为存在某个正整数 N2N_2N2，使得当 n>N2n>N_2n>N2 时，xn≤ynx_n \le y_nxn≤yn，取 N=max⁡{N1,N2}N=\max \{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，则当 n>Nn>Nn>N 时既有 xn>ynx_n>y_nxn>yn，又有 xn≤ynx_n \le y_nxn≤yn，从而产生矛盾，因此 a≤ba \le ba≤b。

证毕

注：推论 4，在一些参考书中也被称为 数列极限的保序性。

数列极限的夹逼性

定理 4（夹逼性）：设 {xn}\{x_n\}{xn}、{yn}\{y_n\}{yn} 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=an→∞limxn=n→∞limyn=a，若存在 N0∈N+N_0 \in \mathbb{N}^{+}N0∈N+，使得当 n>N0n>N_0n>N0 时，成立
xn≤zn≤yn,x_n \le z_n \le y_n, xn≤zn≤yn,
则数列 {zn}\{z_n\}{zn} 收敛，且 lim⁡n→∞zn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{z_n}=an→∞limzn=a。

证明：

\quad根据数列极限的定义，对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，
∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ⟹xn>a−ϵ,\exists N_1 \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_1:|x_n-a|<\epsilon \Longrightarrow x_n>a-\epsilon, ∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ⟹xn>a−ϵ,

∃N2∈N+,∀n>N2:∣yn−a∣<ϵ⟹yn<a+ϵ.\exists N_2 \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_2:|y_n-a|<\epsilon \Longrightarrow y_n<a+\epsilon. ∃N2∈N+,∀n>N2:∣yn−a∣<ϵ⟹yn<a+ϵ.

\quad取 N=max⁡{N1,N2}N=\max \{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，当 n>Nn>Nn>N 时，成立
a−ϵ<xn≤zn≤yn<a+ϵ,a-\epsilon<x_n \le z_n \le y_n<a+\epsilon, a−ϵ<xn≤zn≤yn<a+ϵ,
因此 lim⁡n→∞zn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{z_n}=an→∞limzn=a.

证毕

数列极限的运算性质——四则运算

\quad下面，讨论数列极限的运算性质，即数列极限的四则运算。

数列极限的和、差运算

定理 5：设 {xn}\{x_n\}{xn}、yn{y_n}yn 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞xn=b\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=bn→∞limxn=b，α,β∈R\alpha,\beta \in \mathbb{R}α,β∈R，则
lim⁡n→∞(αxn±βyn)=αa±βb.\lim_{n \rightarrow \infty}{(\alpha x_n \pm \beta y_n)} = \alpha a\pm \beta b. n→∞lim(αxn±βyn)=αa±βb.

证明：

\quad根据数列极限的定义，对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，
∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ;∃N2∈N+,∀n>N2:∣yn−b∣<ϵ,\exists N_{1} \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_1:\left|x_n-a\right| < \epsilon;\quad \exists N_{2} \in \mathbb{N}^{+},\forall n>N_2:\left|y_n-b\right| < \epsilon, ∃N1∈N+,∀n>N1:∣xn−a∣<ϵ;∃N2∈N+,∀n>N2:∣yn−b∣<ϵ,
\quad取 N=max⁡{N1,N2}N = \max \{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，利用三角不等式，当 n>Nn>Nn>N 时，成立
∣(αxn+βyn)−(αa+βb)∣=∣α(xn−a)+β(yn−b)∣≤∣α(xn−a)∣+∣β(yn−b)∣≤(∣α∣+∣β∣)ϵ，\begin{aligned} \left|(\alpha x_n + \beta y_n) - (\alpha a + \beta b)\right| &= \left|\alpha (x_n-a) + \beta (y_n-b)\right| \\ & \le \left|\alpha(x_n-a)\right| +\left|\beta(y_n-b)\right| \\ & \le \left(\left|\alpha\right| + \left|\beta\right|\right)\epsilon， \end{aligned} ∣(αxn+βyn)−(αa+βb)∣=∣α(xn−a)+β(yn−b)∣≤∣α(xn−a)∣+∣β(yn−b)∣≤(∣α∣+∣β∣)ϵ，
故 lim⁡n→∞αxn+βyn=αa+βb\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\alpha x_n + \beta y_n} = \alpha a + \beta bn→∞limαxn+βyn=αa+βb，同理 lim⁡n→∞αxn−βyn=αa−βb\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\alpha x_n - \beta y_n} = \alpha a - \beta bn→∞limαxn−βyn=αa−βb。

证毕

数列极限的乘运算

定理 6：设数列 {xn}\{x_n\}{xn}、{yn}\{y_n\}{yn} 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞yn=b\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=bn→∞limyn=b，则
lim⁡n→∞xnyn=ab.\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n y_n} = ab. n→∞limxnyn=ab.

证明：

lim⁡n→∞xn=a\quad \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n} = an→∞limxn=a，则数列 {xn}\{x_n\}{xn} 有界，即 ∃M>0\exists M>0∃M>0，使得对任意的 nnn 有
∣xn∣<M，|x_n| <M\text{，} ∣xn∣<M，

lim⁡n→∞yn=b\quad \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n} = bn→∞limyn=b，则对于∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，∃N∈N+\exists N \in \mathbb{N}^{+}∃N∈N+，使得当 n>Nn>Nn>N 时有
∣yn−b∣<ϵ，\left|y_n-b\right| < \epsilon ， ∣yn−b∣<ϵ，
因此
∣xnyn−ab∣=∣xn(yn−b)+b(xn−a)∣≤∣xn(yn−b)∣+∣b(xn−a)∣<(∣M∣+∣b∣)ϵ。\begin{aligned} \left|x_ny_n - ab\right| &= \left|x_n\left(y_n-b\right)+b(x_n-a)\right| \\ & \le \left|x_n(y_n-b)\right| + \left|b(x_n-a)\right| \\ & < (\left|M\right|+\left|b\right|)\epsilon。 \end{aligned} ∣xnyn−ab∣=∣xn(yn−b)+b(xn−a)∣≤∣xn(yn−b)∣+∣b(xn−a)∣<(∣M∣+∣b∣)ϵ。
故 lim⁡n→∞xnyn=ab\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n y_n} = abn→∞limxnyn=ab。

证毕

数列极限的商运算

定理 7：设数列 {xn}\{x_n\}{xn}、{yn}\{y_n\}{yn} 均为收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞yn=b≠0\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b \ne 0n→∞limyn=b=0，则
lim⁡n→∞xnyn=ab.\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}} = \frac{a}{b}. n→∞limynxn=ba.

证明：

lim⁡n→∞xn=a\quad \underset{n \rightarrow \infty} {\lim}{x_n}=an→∞limxn=a，lim⁡n→∞yn=b≠0\underset{n \rightarrow \infty} {\lim}{y_n}=b \ne 0n→∞limyn=b=0，则 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，∃N1∈N+\exists N_1\in \mathbb{N}_{+}∃N1∈N+，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立
∣xn−a∣<ϵ，\left|x_n-a\right|<\epsilon， ∣xn−a∣<ϵ，
∃N2∈N+\quad \exists N_2 \in \mathbb{N}_{+}∃N2∈N+，使得当 n>N2n>N_2n>N2 时，成立
∣yn−a∣<ϵ，\left|y_n-a\right|<\epsilon， ∣yn−a∣<ϵ，

\quad 由数列极限的保序性知，∃N3∈N+\exists N_3 \in \mathbb{N}_{+}∃N3∈N+，使得当 n>N3n>N_3n>N3 时，成立
∣yn∣>∣b2∣。\left|y_n\right| >|\frac{b}{2}|。 ∣yn∣>∣2b∣。
\quad 因此取 N=max⁡{N1,N2,N3}N=\max\{N_1,N_2,N_3\}N=max{N1,N2,N3}，则当 n>Nn>Nn>N 时，成立
∣xnyn−ab∣=∣bxn−aynbyn∣=∣b(xn−a)+a(b−yn)byn∣<2∣b(xn−a)+a(b−yn)b2∣<2(∣b∣+∣a∣)ϵb2。\begin{aligned} \left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{a}{b}\right| &= \left|\frac{bx_n-ay_n}{by_n}\right|= \left|\frac{b \left(x_n-a\right) + a\left(b-y_n\right)}{by_n}\right| \\ &< 2\left|\frac{b \left(x_n-a\right) + a\left(b-y_n\right)}{b^2}\right| \\ &< \frac{2(|b|+|a|)\epsilon}{b^2}。 \end{aligned} ∣∣∣∣ynxn−ba∣∣∣∣=∣∣∣∣bynbxn−ayn∣∣∣∣=∣∣∣∣bynb(xn−a)+a(b−yn)∣∣∣∣<2∣∣∣∣b2b(xn−a)+a(b−yn)∣∣∣∣<b22(∣b∣+∣a∣)ϵ。
因此 lim⁡n→∞xnyn=ab\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{a}{b}n→∞limynxn=ba。

\quad

证毕

\quad结合 定理 3 与 定理 7，有如下结论。

定理 8：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=an→∞limxn=a，若 a>0a>0a>0，则存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立
a2<xn<2a.\frac{a}{2}<x_n<2a. 2a<xn<2a.

证明：

\quad取 ϵ1=a2\epsilon_1=\frac{a}{2}ϵ1=2a，由数列极限的定义，存在正整数 N1N_1N1，使得当 n>N1n>N_1n>N1 时，成立
xn>a−ϵ1=a−a2=a2>0，x_n>a-\epsilon_1=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0， xn>a−ϵ1=a−2a=2a>0，
由于 lim⁡n→∞xn=a≠0\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=a\ne0n→∞limxn=a=0，所以 lim⁡n→∞1xn=1a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{a}n→∞limxn1=a1。取 ϵ2=12a\epsilon_2=\frac{1}{2a}ϵ2=2a1，由数列极限的定义，存在正整数 N2N_2N2，使得当 n>N2n>N_2n>N2 时，成立
1xn>1a−ϵ2=12a，xn<2a.\frac{1}{x_n}>\frac{1}{a}-\epsilon_2=\frac{1}{2a}，x_n<2a. xn1>a1−ϵ2=2a1，xn<2a.
\quad取 N=max⁡{N1,N2}N=\max\{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，当 n>Nn>Nn>N 时，成立
a2<xn<2a.\frac{a}{2}<x_n<2a. 2a<xn<2a.

证毕

同理，有如下结论。

定理 9：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一收敛数列，且 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=an→∞limxn=a，若 a<0a<0a<0，则存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立
2a<xn<a2.2a<x_n<\frac{a}{2}. 2a<xn<2a.

参考文献

[1] B. A. 卓里奇. 数学分析第一卷. 第7版. 北京：高等教育出版社.2019.2.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 第4版. 北京：高等教育出版社. 2010.7.
[3] 陈纪修，於崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社. 2004.7.
[4] 谢惠民，恢自求，易法槐等. 数学分析习题课讲义上册. 北京：高等教育出版社. 2003.7.10.
[5] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程上册. 第3版. 合肥：中国科学技术大学出版社. 2012.8.
[6] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程第一卷. 第8版. 北京：高等教育出版社. 2006.01.

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