函数与极限(2)—极限
2024-05-10 22:22:38
- 数列的极限
- 数列极限的定义
- 收敛数列的性质
- 函数的极限
- 函数极限的定义
- 函数极限的性质
- 无穷小与无穷大
- 无穷小
- 无穷大
- 极限运算法则
- 极限存在法则 两个重要极限
- 无穷小的比较
数列的极限
数列极限的定义
- 设 {xn} { x n } \{x_n\}为一数列，如果存在常数 a a a，对于任意给定的正数ϵ" role="presentation">ϵϵ\epsilon(不论它多么小)，总存在正整数 N N N，使得当n>N" role="presentation">n>Nn>Nn>N时，不等式 |xn−a|<ϵ | x n − a | < ϵ |x_n-a|都成立，那么久称常数 a a a是数列{xn}" role="presentation">{xn}{xn}\{x_n\}的极限，或者称数列 {xn} { x n } \{x_n\}收敛于 a a a，记为limn→∞xn=a" role="presentation">limn→∞xn=alimn→∞xn=a\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a，或 xn→a（n→∞） x n → a （ n → ∞ ） x_n\rightarrow a（n\rightarrow \infty）
- 如果不存在这样的常数a，就说数列 {xn} { x n } \{x_n\}没有极限，或者说数列 {xn} { x n } \{x_n\}是发散的，习惯上也说 limn→∞xn lim n → ∞ x n \lim_{n\rightarrow \infty}x_n不存在
收敛数列的性质
- 极限的唯一性：
- 如果数列 {xn} { x n } \{x_n\}收敛，那么它的极限唯一。如数列 xn=(−1)n+1(n=1,2,...,) x n = ( − 1 ) n + 1 ( n = 1 , 2 , . . . , ) x_n=(-1)^{n+1}(n=1,2,...,)是发散的
- 如果存在正数 M M M，使得数列{xn}" role="presentation">{xn}{xn}\{x_n\}中一切 {xn} { x n } \{x_n\}都满足不等式 |xn|≤M | x n | ≤ M |x_n|\le M，则称数列 {xn} { x n } \{x_n\}是有界的。如果不存在这样的 M M M，则数列{xn}" role="presentation">{xn}{xn}\{x_n\}无界
- 收敛数列的有界性：
- 如果数列 {xn} { x n } \{x_n\}收敛，那么数列 {xn} { x n } \{x_n\}一定有界
- 如果数列无界，那么数列一定发散；但若数列有界，却不一定收敛，如数列 1,−1,1,...,(−1)n+1,... 1 , − 1 , 1 , . . . , ( − 1 ) n + 1 , . . . 1,-1,1,...,(-1)^{n+1},...
- 收敛数列的保号性：
- 如果 limn→∞xn=a lim n → ∞ x n = a \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a，且 a>0(或a<0) a > 0 ( 或 a < 0 ) a>0(或a，那么存在正整数 N>0 N > 0 N>0，当 n>N n > N n>N时，都有 xn>0(或xn<0) x n > 0 ( 或 x n < 0 ) x_n>0(或x_n
- 如果数列 {xn} { x n } \{x_n\}从某项起有 xn≥0（或xn≤0） x n ≥ 0 （ 或 x n ≤ 0 ） x_n\ge 0（或x_n\le 0），且 limn→∞xn=a lim n → ∞ x n = a \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a，那么 a≥0 a ≥ 0 a \ge 0(或 a≤0 a ≤ 0 a\le 0)
- 收敛数列与其子数列间的关系：
- 如果数列 {xn} { x n } \{x_n\}收敛于 a a a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a" role="presentation">aaa
- 如果数列 {xn} { x n } \{x_n\}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn} { x n } \{x_n\}是发散的
函数的极限
函数极限的定义
- 函数极限的定义：
- 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限
- 自变量趋于有限值时函数的极限：
- 如果在 x→x0 x → x 0 x\rightarrow x_0的过程中，对应的函数值 f(x) f ( x ) f(x)无限接近于确定的数值 A A A，那么就说A" role="presentation">AAA是函数 f(x) f ( x ) f(x)当 x→x0 x → x 0 x \rightarrow x_0时的极限（前提是函数 f(x) f ( x ) f(x)在点 x0 x 0 x_0的某个去心邻域内有定义）
- 邻域半径 δ δ \delta体现了 x x x接近x0" role="presentation">x0x0x_0的程度
- 设函数 f(x) f ( x ) f(x)在点 x0 x 0 x_0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ϵ ϵ \epsilon（不论它多么小），总存在正数 δ δ \delta，使得当 x x x满足不等式0<|x−x0|<δ" role="presentation">0<|x−x0|<δ0<|x−x0|<δ0时，对应的函数值 f(x) f ( x ) f(x)都满足不等式 |f(x)−A|<ϵ | f ( x ) − A | < ϵ |f(x)-A|，那么常数 A A A就叫做函数f(x)" role="presentation">f(x)f(x)f(x)当 x→x0 x → x 0 x\rightarrow x_0时的极限，记作 limx→x0f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A或 f(x)→A f ( x ) → A f(x)\rightarrow A（当 x→x0 x → x 0 x\rightarrow x_0）
- 函数 f(x) f ( x ) f(x)当 x→x0 x → x 0 x\rightarrow x_0时极限存在的充分必要条件时左极限及又极限各自存在并且相等，即 f(x−0)=f(x+0) f ( x 0 − ) = f ( x 0 + ) f(x_0^-) = f(x_0^+)
- 自变量趋于无穷大时函数的极限：
- 设函数 f(x) f ( x ) f(x)当 |x| | x | |x|大于某一正数时有定义，如果存在常数 A A A，对于任意给定的正数ϵ" role="presentation">ϵϵ\epsilon（不论它多么小），总存在着正数 X X X，使得当x" role="presentation">xxx满足不等式 |x|>X | x | > X |x|>X时，对应的函数值 f(x) f ( x ) f(x)都满足不等式 |f(x)−A|<ϵ | f ( x ) − A | < ϵ |f(x)-A|，那么常数 A A A就叫做函数f(x)" role="presentation">f(x)f(x)f(x)当 x→∞ x → ∞ x\rightarrow \infty时的极限，记作 limx→∞f(x)=A lim x → ∞ f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A或 f(x)→A(当x→∞) f ( x ) → A ( 当 x → ∞ ) f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow \infty)
函数极限的性质
- 函数极限的唯一性：如果 limx→x0f(x) lim x → x 0 f ( x ) \lim_{x \rightarrow x_0}f(x)存在，那么这极限唯一
- 函数极限的局部有界性：如果 limx→x0f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A，那么存在常数 M>0 M > 0 M>0和 δ>0 δ > 0 \delta>0，使得当 0<|x−x0|<δ 0 < | x − x 0 | < δ 0时，有 |f(x)|≤M | f ( x ) | ≤ M |f(x)|\le M
- 函数极限的局部保号性：如果 limx→x0f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，且 A>0（或A<0） A > 0 （ 或 A < 0 ） A>0（或A，那么存在常数 δ>0 δ > 0 \delta >0，使得当 0<|x−x0|<δ 0 < | x − x 0 | < δ 0时，有 f(x)>0 f ( x ) > 0 f(x)>0（或 f(x)<0 f ( x ) < 0 f(x)）
- 如果 limx→x0f(x)=A(A≠0) lim x → x 0 f ( x ) = A ( A ≠ 0 ) \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A(A\not= 0)，那么就存在着 x0 x 0 x_0的某一去心邻域 U˚(x0) U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_0)，当 x∈U˚(x0) x ∈ U ˚ ( x 0 ) x\in \mathring{U}(x_0)时，就有 |f(x)|>|A|2 | f ( x ) | > | A | 2 |f(x)|>\frac{|A|}{2}
- 函数极限与数列极限的关系：如果极限 limx→x0f(x) lim x → x 0 f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在， {xn} { x n } \{x_n\}为函数 f(x) f ( x ) f(x)的定义域内任一收敛于 x0 x 0 x_0的数列，且满足： xn≠x0(n∈N+) x n ≠ x 0 ( n ∈ N + ) x_n\not= x_0(n\in N^+)，那么相应的函数值数列 {f(xn)} { f ( x n ) } \{f(x_n)\}必收敛，且 limn→∞f(x) lim n → ∞ f ( x ) \lim_{n\rightarrow \infty}f(x)
无穷小与无穷大
无穷小
- 如果函数 f(x) f ( x ) f(x)当 x→x0 x → x 0 x \rightarrow x_0（或 x→∞ x → ∞ x\rightarrow \infty）时的极限为零，那么称函数 f(x) f ( x ) f(x)为当 x→x0 x → x 0 x \rightarrow x_0（或 x→∞ x → ∞ x\rightarrow \infty）时的无穷小
- 在自变量的统一变化过程 x→x0 x → x 0 x\rightarrow x_0（或 x→∞ x → ∞ x\rightarrow \infty）中，函数 f(x) f ( x ) f(x)具有极限 A A A的充分必要条件时f(x)=A+a" role="presentation">f(x)=A+af(x)=A+af(x)=A+a，其中 a a a是无穷小
无穷大
- 设函数f(x)" role="presentation">f(x)f(x)f(x)在 x0 x 0 x_0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数 M M M（不论它多么大），总存在正数δ" role="presentation">δδ\delta（或正数 X X X），只要x" role="presentation">xxx适合不等式 0<|x−x0|<δ 0 < | x − x 0 | < δ 0（或 |x|>M | x | > M |x|>M），对应的函数值 f(x) f ( x ) f(x)总满足不等式 |f(x)|>M | f ( x ) | > M |f(x)|>M，则称函数 f(x) f ( x ) f(x)为当 x→x0 x → x 0 x\rightarrow x_0（或 x→∞ x → ∞ x\rightarrow \infty）时的无穷大
- 在自变量的同一变化过程中，如果 f(x) f ( x ) f(x)为无穷大，则 1f(x) 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)}为无穷小；反之，如果 f(x) f ( x ) f(x)为无穷小，且 f(x)≠0 f ( x ) ≠ 0 f(x)\not=0，则 1f(x) 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)}为无穷大
极限运算法则
- 有限个无穷小的和也是无穷小
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 常数与无穷小的乘积是无穷小
- 有限个无穷小的乘积也是无穷小
- 如果 limf(x)=A，limg(x)=B lim f ( x ) = A ， lim g ( x ) = B \lim f(x)=A，\lim g(x)=B，那么：
- lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B \lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x) = A \pm B
- lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B lim [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = A ⋅ B \lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x) = A \cdot B
- 若又有 B≠0 B ≠ 0 B\not= 0 ，则 limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = A B \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}
- 如果 limf(x) lim f ( x ) \lim f(x)存在，而 c c c为常数，则lim[cf(x)]=climf(x)" role="presentation">lim[cf(x)]=climf(x)lim[cf(x)]=climf(x)\lim [cf(x)] = c\lim f(x)。即在求极限时，常数因子可以提取到极限记号外面。因为 limc=c lim c = c \lim c = c
- 如果 limf(x) lim f ( x ) \lim f(x)存在，而 n n n是正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n" role="presentation">lim[f(x)]n=[limf(x)]nlim[f(x)]n=[limf(x)]n\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n
- 设有数列 {xn} { x n } \{x_n\}和 {yn} { y n } \{y_n\}，如果 limn→∞xn=A，limn→∞yn=B， lim n → ∞ x n = A ， lim n → ∞ y n = B ， \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = A，\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = B，那么：
- limn→∞(xn±yn)=A±B lim n → ∞ ( x n ± y n ) = A ± B \lim_{n \rightarrow \infty}(x_n \pm y_n) = A \pm B
- limn→∞xn⋅yn=A⋅B lim n → ∞ x n ⋅ y n = A ⋅ B \lim_{n \rightarrow \infty}x_n\cdot y_n = A\cdot B
- 当 yn≠0(n=1,2,...) y n ≠ 0 ( n = 1 , 2 , . . . ) y_n \not= 0(n = 1,2,...)且 B≠0 B ≠ 0 B\not=0时， limn→∞xnyn=AB lim n → ∞ x n y n = A B \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}
- 如果 φ(x)≥ψ(x) φ ( x ) ≥ ψ ( x ) \varphi(x) \ge \psi(x)，而 limφ(x)=a，limψ(x)=b lim φ ( x ) = a ， lim ψ ( x ) = b \lim \varphi(x)=a，\lim \psi(x)=b，那么 a≥b a ≥ b a \ge b
- 复合函数的极限运算法则：设函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)]是由函数 u=g(x) u = g ( x ) u=g(x)与函数 y=f(u) y = f ( u ) y=f(u)复合而成， f[g(x)] f [ g ( x ) ] f[g(x)]在点 x0 x 0 x_0的某去心邻域内有定义，若 limx→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0 lim x → x 0 g ( x ) = u 0 ， lim u → u 0 f ( u ) = A ， 且 存 在 δ 0 > 0 \lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = u_0，\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A，且存在\delta_0>0，当 x∈U˚(x0,δ0) x ∈ U ˚ ( x 0 , δ 0 ) x\in \mathring{U}(x_0,\delta_0)时，有 g(x)≠u0 g ( x ) ≠ u 0 g(x)\not=u_0，则 limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A lim x → x 0 f [ g ( x ) ] = lim u → u 0 f ( u ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A
极限存在法则 两个重要极限
- 如果数列 {xn}、{yn} { x n } 、 { y n } \{x_n\}、\{y_n\}及 {zn} { z n } \{z_n\}满足下列条件：
- 从某项起，及 ∃n0∈N ∃ n 0 ∈ N \exists n_0 \in N，当 n>n0 n > n 0 n > n_0时，有： yn≤xn≤zn y n ≤ x n ≤ z n y_n \le x_n \le z_n，
- limn→∞yn=a，limn→∞zn=a lim n → ∞ y n = a ， lim n → ∞ z n = a \lim_{n\rightarrow \infty}y_n=a，\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=a，那么数列 {xn} { x n } \{x_n\}的极限存在，且 limn→∞xn=a l i m n → ∞ x n = a lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a
- 如果：
- 当 x∈U˚(x0,r) x ∈ U ˚ ( x 0 , r ) x\in \mathring{U}(x_0,r)(或 |x|>M | x | > M |x|>M)时， g(x)≤f(x)≤h(x) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\le f(x)\le h(x)，
- limx→x0(x→∞)g(x)=A，limx→x0(x→∞)h(x)=A lim x → x 0 ( x → ∞ ) g ( x ) = A ， lim x → x 0 ( x → ∞ ) h ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0(x\rightarrow \infty)}g(x)=A，\lim_{x\rightarrow x_0(x\rightarrow \infty)}h(x)=A，
- 那么 limx→x0(x→∞)f(x) lim x → x 0 ( x → ∞ ) f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0(x\rightarrow \infty)}f(x)存在，且等于 A A A
- 单调有界数列必有极限：
- 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列
- 如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛
- limx→∞(1+1x)x=e" role="presentation">limx→∞(1+1x)x=elimx→∞(1+1x)x=e\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
- 设函数 f(x) f ( x ) f(x)在点 x0 x 0 x_0的某个左邻域内单调并且有界，则 f(x) f ( x ) f(x)在 x0 x 0 x_0的左极限 f(x−0) f ( x 0 − ) f(x_0^-)必定存在
- 柯西极限存在准则：数列 {xn} { x n } \{x_n\}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ϵ ϵ \epsilon，存在着这样的正整数 N N N，使得当m>N，n>N" role="presentation">m>N，n>Nm>N，n>Nm>N，n>N时，就有 |xn−xm|<ϵ | x n − x m | < ϵ |x_n-x_m|
无穷小的比较
- 如果 limβα=0 lim β α = 0 \lim \frac{\beta}{\alpha}=0，就说 β β \beta是比 α α \alpha高阶的无穷小，记作 β=o(α) β = o ( α ) \beta=o(\alpha)；
- 如果 limβα=∞ lim β α = ∞ \lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty，就说 β β \beta是比 α α \alpha低阶的无穷小；
- 如果 limβα=c≠0 lim β α = c ≠ 0 \lim \frac{\beta}{\alpha}=c\not=0，就说 β β \beta与 α α \alpha时同阶无穷小；
- 如果 limβαk=c≠0，k>0 lim β α k = c ≠ 0 ， k > 0 \lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c\not=0，k>0，就说 β β \beta是关于 α α \alpha的 k k k阶无穷小；
- 如果limβα=1" role="presentation">limβα=1limβα=1\lim \frac{\beta}{\alpha}=1，就说 β β \beta是 α α \alpha高阶的无穷小，记作 α α \alpha ~ β β \beta
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