数据结构之图(二)—

图的逻辑结构为多对多，图没有顺序存储结构，但可以借助二维数组来表示元素间的关系，即数组表示法(邻接矩阵)。图的链式存储结构可以用多重链表来描述，如邻接表，邻接多重表以及十字链表等。

邻接矩阵

数组(邻接矩阵)表示法：
建立一个邻接表(记录各个顶点信息)和一个邻接矩阵(表示各个顶点间的关系)。
1.设图A=(V,E)有n个顶点，则有顶点表Vexs[n]如下，

i	0	1	2	⋯ \cdots ⋯	n-1
Vexs[i]	v 1 v_1 v1	v 2 v_2 v2	v 3 v_3 v3	⋯ \cdots ⋯	v n v_n vn

2.图的邻接矩阵是一个二维数组A.arcs[n][n]，定义为：
A . a r c s [ i ] [ j ] = { 1        如果 < i , j > ∈ E 或者 ( i , j ) ∈ E 0        否则 A.arcs[i][j] = \left\{ {\begin{array}{l} {1\;\;\;\;\;\; 如果< i,j > \in E或者(i,j) \in E}\\ {0\;\;\;\;\;\;否则} \end{array}} \right. A.arcs[i][j]={1如果<i,j>∈E或者(i,j)∈E0否则

无向图的邻接矩阵

例子：
特点：
1.无向图的邻接矩阵是对称的，且主对角线元素全为0(因为自己到自己没有边)。
2.顶点i的度=第i行(列)中1的个数。
3.完全图的邻接矩阵中，主对角元素为0，其余全为1。

有向图的邻接矩阵

例子：

在有向图的邻接矩阵中，
第i行的含义：以结点 v i v_i vi为尾的弧(出度边)；
第i列的含义：以结点 v i v_i vi为头的弧(入度边)；
特点：
1.有向图的邻接矩阵可能不是对称的。
2.顶点的出度=第i行元素之和；
顶点的入度=第i列元素之和；
顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和。

网的邻接矩阵

网的邻接矩阵表示法：
A . a r c s [ i ] [ j ] = { W i j        < v i , v j > 或 ( v i , v j ) ∈ V R ∞           无边 ( 弧 ) A.arcs[i][j] = \left\{ {\begin{array}{l} {{W_{ij}}\;\;\;\;\;\; < {v_i},{v_j} > 或({v_i},{v_j}) \in VR}\\ {\infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;无边(弧)} \end{array}} \right. A.arcs[i][j]={Wij<vi,vj>或(vi,vj)∈VR∞无边(弧)
例子：

邻接矩阵的具体实现

邻接矩阵的存储表示：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵。

#define MaxInt 32767             //表示极大值，即无穷大
#define MVNum 100                //最大顶点数
typedef char VerTexType;         //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;             //假设边的权值类型为整型typedef struct
{VerTexType vexs[MVNum];      //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum];  //邻接矩阵int vexnum, arcnum;          //图的当前点数和边数
}AMGraph;  // Adjacency Matrix Graph

采用邻接矩阵表示法创建无向网
- 算法思路
  - 1.输入总顶点数和总边数(为vexnum和arcnum赋值)
  - 2.依次输入点的信息存入顶点表中(为vexs[i]赋值)。
  - 3.初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值。
  - 4.构造邻接矩阵
- 算法描述：

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{cin >> G.vexnum >> G.arcnum;              //输入总顶点数，总边数for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)            cin >> G.vexs[i];                     //依次输入顶点的信息for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)G.arcs[i][j] = MaxInt;            //边的权值均置为极大值(无穷大)for (k = 0; k < G.arcnum; ++k)            //构造邻接矩阵{ cin >> v1 >> v2 >> w;                 //输入一条边所依附的顶点及边的权值i = LocateVex(G, v1);            j = LocateVex(G, v2);                 //确定v1和v2在G中的位置G.arcs[i][j] = w;                     //边<v1,v2>的权值为wG.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];          //置<v1,v2>地对称边<v2,v1>的权值为w}return OK;
}

其中的LocateVex函数表示查找某顶点在顶点表中的位置，具体如下，

//在图G中查找顶点u，存在则返回其在顶点表中的下标，否则返回-1
int LocateVex(AMGraph G, VerTexType u)
{int i;for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)if (u == G.vexs[i])return i;return -1;
}

采用邻接矩阵表示法创建其它图
在前面创建无向网的基础上，只需经过一点修改，就可以创建无向图，有向网和有向图，操作如下图，

邻接矩阵表示法的优缺点

优点：
- 直观、简单、好理解
- 方便检查任意一对顶点间是否存在边
- 方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)
- 方便计算任一顶点的“度”。
缺点：
- 不便于增加和删除顶点
- 浪费空间——存稀疏图(点很多而边很少)有大量无效元素
  - 对稠密图(特别是完全图)还是很合算的
- 浪费时间——统计稀疏图中一共有多少条边

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