B树

m阶B树的性质
B树 vs 二叉搜索树
搜索
添加 – 上溢
- 添加 – 上溢的解决(假设5阶)
删除
- 删除 – 叶子节点
- 删除 – 非叶子节点
- 删除 – 下溢
- 删除 – 下溢的解决
4阶B树

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B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现；

仔细观察B树，有什么眼前一亮的特点？

1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
拥有二叉搜索树的一些性质
平衡，每个节点的所有子树高度一致
比较矮

m阶B树的性质

数据库实现中一般用几阶B树？

200 ~ 300

B树 vs 二叉搜索树

B树和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的；

多代节点合并，可以获得一个超级节点

2 代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4 阶B树）
3 代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8 阶B树）
n 代合并的超级节点，最多拥有 2ⁿ 个子节点（至少是 2ⁿ 阶B树）

m 阶 B树，最多需要 log2^m 代合并；

搜索

跟二叉搜索树的搜索类似：

先在节点内部从小到大开始搜索元素
如果命中，搜索结束
如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1

添加 – 上溢

新添加的元素必定是添加到叶子节点：

插入 55：

插入 95：

再插入 98 呢？（假设这是一棵 4阶B树）

最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
这种现象可以称之为：上溢（overflow）

添加 – 上溢的解决(假设5阶)

上溢节点的元素个数必然等于 m；

假设上溢节点最中间元素的位置为 k

将 k 位置的元素向上与父节点合并
将 [0, k - 1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）

一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决

最极端的情况，有可能一直分裂到根节点

添加示例：

插入 98：

插入 52：

插入 54：

删除

删除 – 叶子节点

假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可；
例：删除 30

删除 – 非叶子节点

假如需要删除的元素在非叶子节点中

先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
再把前驱或后继元素删除

例：删除 60

非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中；

所以这里的删除前驱或后继元素，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
真正的删除元素都是发生在叶子节点中；

删除 – 下溢

删除 22？（假设这是一棵 5阶B树）

叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（ ≥ ┌ m/2 ┐ − 1 ）
这种现象称为：下溢（underflow）

删除 – 下溢的解决

下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2

如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素

将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置（最小位置）
用兄弟节点的元素 a（最大的元素）替代父节点的元素 b
这种操作其实就是：旋转

如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素

将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1
这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播

删除示例：

4阶B树

如果先学习 4 阶 B 树（2 - 3 - 4 树），将能更好地学习理解红黑树：

4阶B树的性质：

所有节点能存储的元素个数 x ：1 ≤ x ≤ 3
所有非叶子节点的子节点个数 y ：2 ≤ y ≤ 4

添加：从 1 添加到 22

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《恋上数据结构第1季》B树

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