《恋上数据结构第1季》二叉树基础、真二叉树、满二叉树、完全二叉树、二叉树的遍历(重点)
二叉树(Binary Tree)
- 树(Tree)的基本概念
- 有序树、无序树、森林
- 二叉树(Binary Tree)
- 二叉树的性质
- 真二叉树(Proper Binary Tree)
- 满二叉树(Full Binary Tree)
- 完全二叉树(Complete Binary Tree)
- 完全二叉树的性质
- 面试题(完全二叉树)
- 二叉树的遍历 + 练习题
- 前序遍历(Preorder Traversal)
- 中序遍历(Inorder Traversal)
- 后序遍历(Postorder Traversal)
- 层序遍历(Level Order Traversal)
- 根据遍历结果重构二叉树
- 前序遍历+中序遍历 重构二叉树
- 四则运算
- 表达式树
- 练习
- 翻转二叉树
- 二叉树的最大深度
数据结构与算法笔记目录:《恋上数据结构》 笔记目录
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如果你想看的是二叉树的代码实现,请看这个:二叉树代码实现
简单的看一下树形结构:
生活中的树形结构:
- 使用树形结构可以大大提高效率;
- 树形结构是算法面试的重点;
树(Tree)的基本概念
节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点;
- 一棵树可以没有任何节点,称为空树
- 一棵树可以只有 1 个节点,也就是只有根节点
子树、左子树、右子树;
节点的度(degree):子树的个数;
树的度:所有节点度中的最大值;
叶子节点(leaf):度为 0 的节点;
非叶子节点:度不为 0 的节点;
层数(level):根节点在第 1 层,根节点的子节点在第 2 层,以此类推(有些教程也从第 0 层开始计算)
节点的深度(depth):从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数;
节点的高度(height):从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数;
树的深度:所有节点深度中的最大值;
树的高度:所有节点高度中的最大值;
数的深度 等于 树的高度;
有序树、无序树、森林
有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系;
无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,也称为 “自由树”;
森林:由 m(m ≥ 0)棵互不相交的树组成的集合;
二叉树(Binary Tree)
二叉树的特点:
- 每个节点的度最大为 2(最多拥有 2 棵子树)
- 左子树和右子树是有顺序的,二叉树是有序树
- 即使某节点只有一棵子树,也要区分左右子树
二叉树的性质
非空二叉树的第 i 层,最多有 2i−1 个节点( i ≥ 1 )
在高度为 h 的二叉树上最多有 2h-1 个结点( h ≥ 1 )
对于任何一棵非空二叉树,如果叶子节点个数为 n0
,度为 2 的节点个数为 n2
,则有:n0 = n2 + 1
- 假设度为 1 的节点个数为
n1
,那么二叉树的节点总数n = n0 + n1 + n2
- 二叉树的边数
T
=n1 + 2 * n2
=n – 1
=n0 + n1 + n2 – 1
- 因此
n0 = n2 + 1
真二叉树(Proper Binary Tree)
真二叉树:所有节点的度都要么为 0,要么为 2
下图不是真二叉树:
满二叉树(Full Binary Tree)
满二叉树:最后一层节点的度都为 0,其他节点的度都为 2
假设满二叉树的高度为 h( h ≥ 1 ),那么
- 第 i 层的节点数量: 2i−1
- 叶子节点数量: 2h−1
- 总节点数量 n
- n = 2h − 1 = 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2h−1
- 树高度与总节点的关系:h = log2(n + 1)
在同样高度的二叉树中,满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多;
满二叉树一定是真二叉树,真二叉树不一定是满二叉树;
完全二叉树(Complete Binary Tree)
完全二叉树:对节点从上至下、左至右开始编号,其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
完全二叉树的性质
- 度为 1 的节点只有左子树
- 度为 1 的节点要么是 1 个,要么是 0 个
- 同样节点数量的二叉树,完全二叉树的高度最小
- 假设完全二叉树的高度为 h( h ≥ 1 ),那么:
- 至少有 2h−1 个节点 ( 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2h−2 + 1 )
- 最多有 2h − 1 个节点( 20 + 21 + 22 + ⋯ + 2h−1,即 满二叉树 )
- 总节点数量为 n
2h−1 ≤ n < 2h
h − 1 ≤ log2n < h
h = floor( log2n ) + 1
(floor
是向下取整,ceiling
是向上取整 )
下图不是完全二叉树:
面试题(完全二叉树)
国外教材的说法:了解一下
二叉树的遍历 + 练习题
遍历是数据结构中的常见操作:把所有元素都访问一遍;
线性数据结构的遍历比较简单:
- 正序遍历
- 逆序遍历
根据节点访问顺序的不同,二叉树的常见遍历方式有 4 种:
- 前序遍历(Preorder Traversal)
- 中序遍历(Inorder Traversal)
- 后序遍历(Postorder Traversal)
- 层序遍历(Level Order Traversal)
遍历的应用:
- 前序遍历:树状结构展示(注意左右子树的顺序)
- 中序遍历:二叉搜索树的中序遍历按升序或者降序处理节点
- 后序遍历:适用于一些先子后父的操作
- 层序遍历:计算二叉树的高度、判断一棵树是否为完全二叉树
前序遍历(Preorder Traversal)
访问顺序:根节点、前序遍历左子树、前序遍历右子树
下图前序遍历的结果是:7、4、2、1、3、5、9、8、11、10、12
二叉树的前序遍历:https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-preorder-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {* int val;* TreeNode left;* TreeNode right;* TreeNode(int x) { val = x; }* }*/
class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return list;list.add(root.val);preorderTraversal(root.left);preorderTraversal(root.right);return list;}
}
中序遍历(Inorder Traversal)
访问顺序:中序遍历左子树、根节点、中序遍历右子树
下图中序遍历的结果是:1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、12
另一种中序遍历访问顺序:中序遍历右子树、根节点、中序遍历左子树
则下图的中序遍历的结果是:12、11、10、9、8 、7、5、4、3、2、1
二叉搜索树的中序遍历结果是升序或者降序的;
二叉树的中序遍历: https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {* int val;* TreeNode left;* TreeNode right;* TreeNode(int x) { val = x; }* }*/
class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return list;inorderTraversal(root.left);list.add(root.val);inorderTraversal(root.right);return list;}
}
后序遍历(Postorder Traversal)
访问顺序:后序遍历左子树、后序遍历右子树、根节点
下图的后序遍历的结果是:1、3、2、5、4、8、10、12、11、9、7
二叉树的后序遍历: https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-postorder-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {* int val;* TreeNode left;* TreeNode right;* TreeNode(int x) { val = x; }* }*/
class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return list;postorderTraversal(root.left);postorderTraversal(root.right);list.add(root.val);return list;}
}
层序遍历(Level Order Traversal)
访问顺序:从上到下、从左到右依次访问每一个节点
下图的层序遍历的结果是:7、4、9、2、5、8、11、1、3、10、12
二叉树的层次遍历: https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {* int val;* TreeNode left;* TreeNode right;* TreeNode(int x) { val = x; }* }*/
class Solution {List<List<Integer>> resList = new ArrayList<>();public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) return resList;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();int levelSize = 1;queue.offer(root);List<Integer> list = new ArrayList<>(); ;while(!queue.isEmpty()){TreeNode node = queue.poll();list.add(node.val);levelSize--;if(node.left != null){queue.offer(node.left);}if(node.right != null){queue.offer(node.right);}if(levelSize == 0){resList.add(list);levelSize = queue.size();list = new ArrayList<>();}}return resList;}
}
根据遍历结果重构二叉树
以下结果可以保证重构出唯一的一棵二叉树:
- 前序遍历 + 中序遍历
- 后序遍历 + 中序遍历
前序遍历 + 后序遍历:
- 如果它是一棵真二叉树(Proper Binary Tree),结果是唯一的
- 不然结果不唯一
前序遍历+中序遍历 重构二叉树
四则运算
四则运算的表达式可以分为3种:
- 前缀表达式(prefix expression),又称为波兰表达式
- 中缀表达式(infix expression)
- 后缀表达式(postfix expression),又称为逆波兰表达式
表达式树
练习
翻转二叉树
226_翻转二叉树:https://leetcode-cn.com/problems/invert-binary-tree/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {* int val;* TreeNode left;* TreeNode right;* TreeNode(int x) { val = x; }* }*/
class Solution {public TreeNode invertTree(TreeNode root) {if(root == null) return root;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){TreeNode node = queue.poll();TreeNode treeNode = node.left;node.left = node.right;node.right = treeNode;if(node.left != null){queue.offer(node.left);}if(node.right != null){queue.offer(node.right);}}return root;}
}
二叉树的最大深度
104_二叉树的最大深度:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/
/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {* int val;* TreeNode left;* TreeNode right;* TreeNode(int x) { val = x; }* }*/
class Solution {public int maxDepth(TreeNode root) {if(root == null) return 0;return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));}
}
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