smith标准型_线性系统理论（八）多项式矩阵Smith-McMillan标准型计算方法

1 参考^[1]

Chenglin Li：线性系统理论（七）finite- and infinite-zeroszhuanlan.zhihu.com

多项式矩阵Smith-McMillan标准型确定方法分析

2 单模矩阵法

Chenglin Li：线性系统理论（七）finite- and infinite-zeros

3 最大公因子法

3.1 原理

对于多项式矩阵G(s)，其Smith型

$\Lambda(s)$ 的对角元素为

$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,...$ 即不变多项式。

令Di(s)=gcd{G(s)的所有

$i\times i$ 子式，i=1,2,3...}，

$D_0(s)=1.$

那么可得：

$\left\{ \begin{aligned} \lambda_1=&\frac{D_1(s)}{D_0(s)},\\ \lambda_2=&\frac{D_2(s)}{D_1(s)},\\ \lambda_3=&\frac{D_3(s)}{D_2(s)}, ... \end{aligned} \right.\\$

3.2 举例

$H(\lambda)=\left( \begin{matrix} -\frac{1}{\lambda-1}&0&0\\ 0&-\frac{\lambda}{\lambda-1}&0\\ 0 &0&\frac{(\lambda-1)^2}{\lambda^2} \end{matrix} \right).\\$

$H(\lambda)$ 所有元素分母的最小公倍数为

$d(\lambda)=\lambda^2(\lambda-1), N(\lambda)= \left( \begin{matrix} -\lambda^2 & 0 & 0\\ 0 & -\lambda^3 & 0\\ 0 & 0 & (\lambda-1)^3 \end{matrix} \right).\\$

$N(\lambda)$ 各阶子式的最大公因子为：

$\left\{ \begin{aligned} D_0=&1,\\ D_1=& gca \left\{-\lambda^2,-\lambda^3,(\lambda-1)^3 \right\}=1,\\ D_2=& gca \left\{-\lambda^5,-\lambda^2(\lambda-1)^3,\lambda^3(\lambda-1)^3 \right\}=\lambda^2,\\ D_1=& gca \left\{\lambda^5(\lambda-1)^3 \right\}=\lambda^5(\lambda-1)^3.\\ \end{aligned} \right.\\$

Smith不变多项式为（需检查是否满足首一性）：

$\left\{ \begin{aligned} \lambda_1=&1/d(\lambda),\\ \lambda_2=&\lambda^2/d(\lambda),\\ \lambda_3=& \lambda^3(\lambda-1)^3/d(\lambda). \end{aligned} \right.\\$

Smith-McMillan形式为：

$M(\lambda)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\lambda^2(\lambda-1)}&0&0\\ 0&\frac{1}{\lambda-1}&0\\ 0 &0&\lambda(\lambda-1)^2 \end{matrix} \right).\\$

4 结构指数法

4.1 评价值

$|G|^{i}$ 为G(s)的所有

$i\times i$ 子式，i=1,2,3...}，则G(s)在

$s=\xi_k$ 上的第

$i$ 阶评价值为

$v_{\xi_k}^{(i)}(G)=min\left\{ v_{\xi_k} \left( |G|^i \right) \right\}.\\$

4.2 举例分析

$G(s)=\left( \begin{matrix} \frac{s}{(s+1)^2(s+2)^2} &\frac{s}{(s+2)^2}\\ -\frac{s}{(s+2)^2} &-\frac{s}{(s+2)^2}\\ \end{matrix} \right)\\$

G(s)1阶子式：

$|G|^1=\frac{s}{(s+1)^2(s+2)^2},\frac{-s}{(s+2)^2},\frac{s}{(s+1)^2},\frac{-s}{(s+2)^2}.\\$

G(s)2阶子式：

$|G|^2=\frac{s^3}{(s+1)^2(s+2)^3}.\\$

G(s)在s=0处的评价值：

$\left\{ \begin{aligned} v_0^{(1)}(G)=&min\left\{ 1,1,1,1 \right\}=1,\\ v_0^{(2)}(G)=&min\left\{ 3 \right\}=3.\\ \end{aligned} \right.\\$

G(s)在s=-1处的评价值：

$\left\{ \begin{aligned} v_{-1}^{(1)}(G)=&min\left\{ -2,0,0,0 \right\}=-2,\\ v_{-1}^{(2)}(G)=&min\left\{ -2 \right\}=-2.\\ \end{aligned} \right.\\$

G(s)在s=-2处的评价值：

$\left\{ \begin{aligned} v_{-2}^{(1)}(G)=&min\left\{ -2,-2,-2,-2 \right\}=-2,\\ v_{-2}^{(2)}(G)=&min\left\{ -3 \right\}=-3.\\ \end{aligned} \right.\\$

4.3 结构指数组

$\left\{ \begin{aligned} \sigma_1(\xi)=&v_{\xi}^{(1)}(G),\\ \sigma_2(\xi)=&v_{\xi}^{(2)}(G)-v_{\xi}^{(1)}(G),\\ \sigma_3(\xi)=&v_{\xi}^{(3)}(G)-v_{\xi}^{(2)}(G),\\ ... \end{aligned} \right.\\$

对于4.2的例子

$\left\{ \begin{aligned} \sigma_1(0)=&1,\\ \sigma_2(0)=&3-1=2.\\ \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} \sigma_1(-1)=&-2,\\ \sigma_2(-1)=&-2-(-2)=0.\\ \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} \sigma_1(-2)=&-2,\\ \sigma_2(-2)=&-3-(-2)=-1.\\ \end{aligned} \right.\\$

4.4 构造Smith-McMillan型

$M(s)= \left( \begin{matrix} \prod_{k=1}^{r}M_{\xi_k}(s) & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right).\\$

$M_{\xi_k}(s)= \left( \begin{matrix} (s-\xi_k)^{\sigma_1(\xi_k)} & 0 &...\\ 0 & (s-\xi_k)^{\sigma_2(\xi_k)} &... \\ 0&...&...\\ 0 &...&(s-\xi_k)^{\sigma_r(\xi_k)} \end{matrix} \right).\\$

对于4.2的例子，G(s)的Smith-McMillan型如下：

$M(s)= \left( \begin{matrix} s(s+1)^{-2}(s+2)^{-2} & 0\\ 0 & s^2(s+2)^{-1} \\ \end{matrix} \right).\\$

5 附录文件

SMITH–MCMILLAN FORMS.pdf

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——2020.07.17——

参考

^王久和,永智群.多项式系统矩阵Smith-McMillan标准型确定方法分析[J].华北科技学院学报,2002,4(2):14-15.