今天写一个比较简单也比较常用的内容——相关系数。

相关系数，并不是一个陌生的概念，因为高中的时候好像就学过了。只不过那个时候没有讲太深入，当然啦，我这篇笔记也不会讲得多深入，能力达不到嘛。理解一下，会用就好。

相关系数，其实就是衡量两个变量之间相关性的大小的指标，常用的相关系数有两种，一种是pearson相关系数，也就是《概率论与数理统计》这本书里提到的，平时最为常用的相关系数。另一种称之为spearman相关系数，我也是在清风老师的课中第一次听说，它衡量的是两个变量的依赖性，唔，也可以理解为单调性啦。接下来我就介绍一下我学到的内容吧~

相关概念引入

总体与样本

总体与样本是初等统计学中最为基本的概念之一。在统计学中，我们时常要对一些对象，人，事，物等进行观察研究，希望发现它们运动变化过程中的一些内在的规律。但是，出于各种条件的限制，我们往往很难我们感兴趣的群体的全部信息。例如，我们想要知道中国大学生的每月平均消费水平，理想状态下，我们首先应该知道中国所有大学生每个人的平均月消费，再加总起来除以人数。但想想就知道，除非付出极大的代价，否则不可能获取到每一个人的花费信息。

但实际上，我们也没有太大必要进行这种普查性质的活动。我们可以首先根据地理位置或者其他指标选定一些学校，作为我们进行调查的学校。之后在这些学校里，我们又可以按照某种指标，或者尽可能多得选择一些学生进行询问。这样，我们就获得了研究对象中一部分学生的消费信息，之后就可以计算这部分学生的平均月消费，并且将它视为全部大学生的平均月消费。

在上面这个例子中，总体就是我们感兴趣的研究对象全体，也就是全中国的大学生。样本就是我们最后真正得到信息的那部分学生。而从总体中获得样本的过程，就称之为抽样。hhh这些高中应该都学过，简单说一下。

为什么要进行抽样获得样本呢？就是因为总体数据的获取过于困难，我们只好退而求其次，选择一个可以代表总体的样本，用这个样本的相关统计量，相关规律等来推测总体的相关统计量以及规律。 那为什么可以用样本的性质来代表或者推测总体的性质呢？这个我也不太清楚，因为大家都默认是这样的。

简单理解一下，个体的某些性质，我们是不好揣测的，特别是有些个体，本身就有较大的波动。所以观察个体的数据，我们很难得到什么一般性的结论。但许多个个体聚在一起，他们的行为，性质等可能会表现出某种同步性，或者说规律性。个体是特殊的，但总体中的个体又是普通的，统计学想要发掘的，大概就是个体中存在的共性。这种共性，或者说规律本身是固定的，观察数量的多少，主要决定着对这种规律的反映程度。数量越多，规律自然会更清晰更直观。因此，样本相对于总体，其区别可能就是对规律或者共性的反映清晰度不同，但本质上是一样的。那么，用样本估计总体或者代替总体，就无可厚非了。（以上全是瞎扯）

描述性统计

简单介绍一下样本的描述性统计。所谓描述性统计，就是通过表格，图形等手段从各个方面对数据进行展示的过程。其主要作用就是从总体上看一看数据变量的特征、分布、变化趋势等等。

简单的描述性统计主要有两个内容，一是对数据变量进行五数概括，看一看变量的位置分布；另一个就是展示一下数据变量的均值与方差。除此之外，出于美观以及方便的需要，我们还会把数据进行可视化操作，以更好地进行展示。

五数概括，就是指出变量数据的最小值、最大值、第一四分位数、中位数以及第三四分位数。很简单，首先把数据从小到大进行排序，第一个就是最小值，最后一个就是最大值，处于最中间位置的便是中位数的值了。对中位数左边的数据（除去中位数）计算中位数，即第一四分位数；对中位数右边的数据（除去中位数）计算中位数，即第三四分位数。如果进行比较明确的定义，数据变量

的

分位数

代表着

。那四分位数，其实也就是

分别为25%，50%，75%的情况了。再加上最大值和最小值，便是所谓的五数了。

五数概括的目的在于描述变量的分布，观察变量的总体情况。相对于平均数或者中位数这种单一指标，五数概括包含的信息就更加充分了。

之后就是均值方差描述了。其中均值衡量的是样本数据的平均程度，就是常说的平均值，方差描述的是数据的分散程度。这两个统计量也是高中就学过的内容，均值

样本的均值的观测值便是

方差的公式是

不过这是总体数据的方差，样本方差

之所以样本方差是除以

而不是

，是为了满足方差估计的无偏性，这个以后有机会再说。当然，在大样本的情况下

，除以

还是

区别不大，不过一般情况下，还是除以

比较合适。

对于五数概括，matlab好像没有比较直接的函数，所以我们可以通过箱形图来看看它的五数。所谓箱形图，就是下方这种图。

最下方和最上方的黑色横线位置分别代表最大值和最小值。箱体的下方蓝线为第一四分位数，箱体的上方为第三四分位数，箱体中间的红线即为中位数。由于这是由均匀分布生成的数据，因此中位数好像就在正中央，但一般情况下并非如此。

如果想要查看四分位数或者中位数，直接点击相应的线就好了，matlab会自动显示出来。由上图我们可以看到，50%的数据都在40一下，而25%的数据都在100以上，这便可以理解为一个代表着“贫富差距”的箱型图了。

至于均值和方差，matlab中使用mean函数求均值，std函数求标准差（方差的平方根），var函数求方差，比较简单，此处不表。

x

Pearson相关系数

好的，现在介绍一下Pearson相关系数。

总体Pearson相关系数

顾名思义，就是总体数据的相关系数。如果两组数据

和

是总体数据，那么总体均值

总体的协方差为

总体的方差为

则我们定义总体的Pearson系数

上式中的协方差，简单来说，衡量的是两个变量之间的变化趋势。如果两个变量的变化趋势一致，即

变大

也变大或者

变小

也变小，即使某些时候一个大于均值一个小于均值，乘积可能为负数，但总的来看，协方差应该为正。反之，若两个变量变化趋势相反，则协方差应该为负数。如果两个变量的变化没有关系，则

时正时负，最后很可能正负相抵，使得协方差趋于0。

那Pearson相关系数呢？其实就是两个变量的协方差除以它们的标准差，可以将其理解为对

进行标准化，剔除了量纲影响的协方差。因为标准差反映的就是数据的波动程度，由于量纲不同，所以波动程度有大有小。而除以标准差之后，就相当于消灭了各自的波动程度，更加纯粹地反映出变量之间的变化关系。

唔，我可能解释的不是很好，知乎上有一个问题，大家可以去看一看，再理解一下。 [如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？ - 知乎]（https://www.zhihu.com/question/20852004）

样本相关系数

其实差不多，计算公式还是一样的，但是在具体的样本协方差，样本方差计算上，有一些小的差别。样本均值

总体的协方差

总体的方差

则我们定义总体的Pearson系数

相关系数的性质

我们需要了解一些相关系数的性质以更好地使用它。

性质一说明，相关系数介于

之间（可以自己证明），其数值定量地刻画了

和

的相关程度，即

越大，两者的相关程度越大，

时，两者的相关程度最低。（注意，这里的相关程度指的是线性相关程度，这一点后面会再提到）一般而言，若

，我们称之为强相关，

，可以称之为中等相关，

称之为弱相关。当然啦，实际上并没有精确的标准，反正相关系数绝对值越大越相关。

同时，如果

，则我们认为两者是正相关关系，即你变大我也变大，如果

,我们认为两者是负相关关系，即你变大我变小。

性质二则指出，如果

与

之间存在严格的线性关系，则

。如果

的值十分接近于

，我们也可以认为二者具有较强的线性相关性了。

注意

在使用相关系数的时候，有几个需要注意的点。

首先，相关系数刻画的是线性相关关系，也就是用来衡量两个变量线性相关程度的指标。如果你想使用相关系数来说明它们之间的相关程度，就必须得通过画散点图等手段，确认这两个变量是具有一定的线性相关性的。嗯，记住，相关系数只能说明线性相关程度。如果两个变量之间具有某种二次或者指数关系，它们仍然是具有相关性的，只是线性相关程度可能比较低罢了。所以千万不要看到相关系数很小就认为二者不相关，事实上只是线性不相关。

第二点，即使相关系数很大，也不一定真的线性相关。如下图。因此，一定一定一定一定记得画出散点图啊，不要凭借一个相关系数就说它们相关不相关了（血与泪的教训呜呜呜呜呜呜）

举个例子

直接用matlab计算相关系数矩阵就好啦~将数据导入之后，一行代码搞定。

R 

结果如下

我们可以在excel中用色阶美化一下，当然如果使用Python或者R语言会有很好用的第三方库或者包直接生成美观的相关系数矩阵。

其实也不是很美，但颜色深浅可以表达出相关系数的大小，很直观。之后有机会我再介绍一下如何用Python或者Excel生成好看的图表。

如果想要计算两个向量的相关系数，也是一行代码搞定。

x

唔，结果也是一个矩阵，不过可以直接看出来相关系数啦。

对Pearson相关系数进行假设检验

其实在上统计这门课的时候，印象中我没有见到过对相关系数进行假设检验，更多的是对均值、方差、比例等进行假设检验。不过清风老师的课中提到了这部分，我也就简单介绍一下步骤，具体的原理我觉得还是需要认真学习统计这门课才行。这里不做过多展开。说到这里，大家可以试试在公众号后台发送数学建模文章的名字，有惊喜呀。

首先说一下什么是假设检验。原理其实比较简单：我们假设某个命题是正确的，在这个假设正确的前提下，事件A是一个小概率事件。我们知道，在一次实验中小概率事件几乎不可能发生。所以，如果我们在一次试验中观察到事件A竟然发生了，就有足够的理由怀疑这一假设的正确性，从而否定该假设；反正，如果在一次试验中事件A并没有发生，我们就无法否定原假设，只能转而支持原假设了。（虽然无法否定原假设并不代表原假设就是正确的，但是在假设检验的框架下，我们认为无法否定就要支持）

我们将设为正确的假设，称之为原假设

，同时我们提出一个与之互斥的假设，称之为备择假设

。之后，我们需要寻找到一个事件A，需要满足该事件在原假设为真的情况下是一个小概率事件，一般而言我们是通过构造服从某种分布的统计量来完成。再者，对于给定的显著性水平，构造拒绝域，将样本数据代入我们找到的统计量中，判断是否在拒绝域内。是的话就说明小概率事件发生了，拒绝原假设，支持备择假设。否则就支持原假设。

上面可能就是构造拒绝域那里不太清楚，这里就不讲了，有机会还会提到。一般而言，我们反而不用拒绝域，用的是

值。所谓

值，就是在

为真的情况下，所得到的样本结果会像实际观察值结果那么极端甚至更极端的概率。

也就是说，我们把题目提供的样本，当成一次实验的结果。在

为真的情况下，如果我们再次进行抽样，还会得到一个样本结果，同时在抽样之前，存在着一个概率，即抽出来的样本的结果比题目给的样本的结果更加极端，也就是更加不符合原假设的概率。

如果这个概率很小，例如只有0.001，大概意味着重复1000次实验，才会出现题目中样本的结果或者比它更极端的结果，那么我们认为小概率事件发生了，需要否定原假设。如果这个概率是0.2，那么100次实验中，有20次都会出现题目中样本的结果甚至更加极端的结果，这并不能算是小概率事件发生了，因此我们无法拒绝原假设，转而需要拒绝备注假设，支持原假设。

啊这部分确实就是比较难理解，如果不太懂也可以看看教科书以及知乎的一些回答，可能某一天就突然懂了。

欧克，针对相关系数的假设检验，我们提出的原假设

，备择假设

，也就是检验相关系数等于0的显著性。如果检验后原假设为真，意味着我们求出的相关系数跟0没什么差距，也就意味着那两个变量在一定显著性水平下是线性不相关的。

之后我们构造统计量，这里构造的是

分布统计量，

，该统计量是自由度为

的

分布。至于为什么构造的是这个统计量，大家自行查阅，有机会会详细说一说。

在然后就是计算

值，大概的形式是

，其中

就是抽样可能得到的样本的结果，

是当前样本，即题目给定样本的结果，如果

，说明在

的置信水平上拒绝原假设，如果

，说明在

的水平上拒绝原假设，如果

，说明在

的水平上拒绝原假设。反之，则在相应的置信水平上接受原假设。所谓置信水平可以简单理解为拒绝原假设的程度，具体的还是自行查阅啦~

用matlab就简单多了，corrcoef函数不仅可以返回相关系数，还可以返回

值，如下。

[

之后我们在原先的结果上标出相应的显著性水平，标记3颗星的位置，意味着置信水平是99%，标记2颗星的位置，意味着置信水平是95%，标记1颗星的位置，意味着置信水平是95%。显著性水平=1-置信水平，这里代表着相关系数显著为0的显著性。则置信水平越高，显著性越低，越不可能为0。

可以发现，那几个显著不为0的相关系数绝对值都不＞0.8，说明这几项指标两两之间并没有明显的线性关系。

事实上，对相关系数进行假设检验，还要求相关的指标变量一定程度上服从正态分布。对于大样本（n>30），我们使用JB检验，原假设是服从正态，备择假设是不服从正态，之后调用matlab的jbtest函数。

[

对于小样本，可以使用

检验，SPSS上面有。

喵这里就先不讲spss的具体操作了，需要录个简单的视频，最近没什么时间。等有空的时候我录屏演示一下。

好的，Pearson相关系数就说到这里。

spearman相关系数

定义

与

是两组数据，其spearman相关系数为

其中，

为

和

之间的等级差。

一个数的等级，就是将它所在的一列数按照从小到大排序后，这个数所在的位置，如果有的数值相同，则将它们所在的位置取算术平均。

上述公式就算得到

。

另一种spearman相关系数，被定义为等级之间的Pearson相关系数，也就是上图中

的等级和

的等级那两列数据的相关系数。两种定义得到的spearman系数存在一定的差别。在Matlab中，计算spearman系数使用的是第二种定义方式。

%% 斯皮尔曼相关系数

spearman相关系数也需要假设检验，原假设也是

，我们可以直接用matlab求出相应的

值。

% 直接给出相关系数和p值

斯皮尔曼相关系数表明

(独立变量) 和

(依赖变量)的相关方向，位于

之间。如果当

增加时，

趋向于增加，斯皮尔曼相关系数则为正。如果当

增加时，

趋向于减少，斯皮尔曼相关系数则为负。斯皮尔曼相关系数为零表明当

增加时

没有任何趋向性。当

和

越来越接近完全的单调相关时，斯皮尔曼相关系数会在绝对值上增加。当

和

完全单调相关时，斯皮尔曼相关系数的绝对值为 1。完全的单调递增关系意味着任意两对数据

和

，有

和

总是同号。完全的单调递减关系意味着任意两对数据

和

，有

和

总是异号。

嗯，spearman相关系数相对而言用的不是特别多，这里不做过多展开。

总结

以上就是相关系数我学到的全部内容啦，到这里已经写了四个小时了……其实是个很简单的话题，认真学也就一小时就大概搞懂了，没想到写起来这么费劲qwq。最后用一张清风老师的课件进行总结吧。如果本文对你有帮助的话，帮忙点个赞呗qwq。