【写在前面】

在状态空间法的推动下，研究人员于20世纪70年代重新审视了传递函数，他们把有理函数看作是两个多项式的比，诞生了多项式分式法，如此一来便可以把单输入单输出系统的结果推广到多输入多输出系统，该方法的重要概念是互质性，在互质的假设条件下，极点配置和模型匹配的设计也成为可能，该方法比状态空间法要简单，且结果更具普适性，尽管如此，由于要进行计算机仿真实时处理和应用电路的实施，所以状态空间法的地位仍然是比较重要的

【正文】

这里简单回顾一下控制理论的发展历程

在卡尔曼初步建立了现代控制理论的基本框架后，有一些科学家就想到能不能把状态空间和传递函数这两种东西结合在一起，他们在这领域做了一些尝试

由于内容较多，篇幅所限，本文初步整理了每一章节的主要内容和作用，参考重点关注的状态空间方法的顺序，对比梳理了复频域理论的框架，并将具体讲解放在了外部链接，以备参考。

一、数学基础——多项式矩阵理论

线性系统的复频率域理论是以传递函数矩阵作为系统描述，并在复频率域内分析和综合线性时不变系统的一种理论方法，首先介绍复频率域理论的数学基础——多项式矩阵理论。所谓多项式矩阵，当中的每一个元素都是多项式，介绍他是为了后面处理具体问题做数学准备，

[图文]第6章 多项式矩阵理论 - 百度文库​wenku.baidu.com

二、传递函数矩阵的矩阵分式描述

对于多项式矩阵我们不熟悉，但对于传递函数矩阵相当眼熟，然而前面介绍的传递函数矩阵的每一个元素都是比值形式而不是多项式，而多项式矩阵理论的研究更加成熟，因此人们探索出用矩阵分式描述的传递函数矩阵的一种新形式，从而可以利用那些成熟理论当中的性质去解决问题。

[图文]第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述 - 百度文库​wenku.baidu.com

三、传递函数矩阵的结构特性

得到了较为方便的矩阵分式描述后，下一个问题就是要研究传递函数矩阵的结构性质，所谓结构特性即系统的零点极点和奇异性，零点极点是分析系统运动行为的基础，奇异性是研究系统奇异特性的根据

第3章 传递函数矩阵的结构特性 - 图文 - 百度文库​wenku.baidu.com

四、传递函数矩阵的状态空间实现

为了充分利用以前的一些结论，比如状态空间中得出的能控性、能观测性这些问题，也需要探索矩阵分式描述在状态空间中怎么表示的理论与算法，里面也讨论了实现问题。

[图文]传递函数矩阵的状态空间实现 - 百度文库​wenku.baidu.com

五、线性时不变系统的多项式矩阵描述

针对线性时不变这一特殊系统，在以上的基础上引入了多项式矩阵描述，并且研究了多项式矩阵描述与其他描述之间的关系，以及多项式矩阵描述的相关性质

[图文]第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述 - 百度文库​wenku.baidu.com

六、线性时不变控制系统的复频率域分析与综合

根据上面五个部分的研究，我们得到了两种对于传递函数矩阵的描述，即矩阵分式描述与多项式矩阵描述，作为系统分析与控制相关的研究，这一点可以类比于我们从微分方程得到了传递函数的过程，此时我们就可以把线性系统的时间域理论当中的一些概念，比如能控性、能观测性、两类稳定性、状态观测器、状态反馈这些概念推广到这两种描述下，得出一些实用的方法。完成从单输入单输出系统到多输入多输出系统的推广。

[图文]第12章线性时不变系统的复频率域分析与综合 - 百度文库​wenku.baidu.com

【线性系统理论】

到这里，线性系统理论的内容基本结束，重点介绍了目前常用的状态空间相关的理论，对于矩阵分式和多项式矩阵为代表的频率域理论，参考国内对于线性系统理论的讲解，仅仅做了简单的梳理和说明。

从经典控制理论到目前介绍的线性控制理论，可以看到这样一个发展脉络：

其中特征轨迹逆奈奎斯特这类被称为现代多变量频率设计方法，线性系统理论教材中没有具体介绍，见链接

多变量频域方法_百度百科​baike.baidu.com

但正如一句名言所言，一切都是要向前进的，控制理论也是如此，第一个就是非线性理论，专栏中已经有所介绍，而对于线性系统来说，在20世纪80年代，迎来了又一次发展，有代表性的就是鲁棒控制理论，同时在工程方法中也涌现了一大批新型控制理论，这些将在未来的文章中予以介绍。