根据控制理论的建立过程，一般是分为系统模型的建立、模型的求解与分析，模型的调配和改进，这是经典的系统学思路。

一、基本运动分析

上篇文章我们粗略建立了状态空间方程——这一用来描述系统的新模型，接下来要做的就是根据方程进行求解来建立系统状态属于输入和初始状态的演化规律，在控制理论中被称为运动分析。

根据一贯习惯，在解方程之前，首先要判定方程到底有没有解

如果系数矩阵的所有元在时间

定义区间上为时间t的连续实函数，输入的所有元在时间定义区间

上为时间t的连续实函数，那么状态方程的解存在且唯一，

简单来说，对于实际物理系统，解总是存在的。

对于线性系统来说，它满足叠加原理，而根据叠加原理我们就能够推出来，复杂响应可以分为由初始状态x0导致的零输入响应和由外部输入导致的零初态响应，简单理解就是本身有多少加上外部给了多少

重点在于这个式子：

对于这个方程，我们可以采用一个新的视角，比如画出它的图像，看看怎么变化，也就是以后经常提到的轨线，而这种思路和稳定性结合起来，也对稳定性的理解加深了一下。

而对于

的计算，可以参考矩阵论教材

矩阵指数函数 - 百度文库​wenku.baidu.com

系统的零初态响应

考虑连续时间线性时不变，系统利用系统的初始状态等于0，它的零初态响应即方程的解则有以下形式

类似的我们可以看出零初态响应随时间t演化的轨迹，在属性上是属于输入驱动下的强迫运动，输入是导致响应的唯一激励作用，它的轨线的形态取决于它的系统特性和输入作用，

作为外部输入驱动的响应，我们更关心的是，能不能通过一个特定的输入使得轨线达到指定的状态空间的状态点，这也被称为能达性，能达性及相关的能控性是一个重要概念，将在后续深入讨论。

系统运动规律的基本表达式

如果将前面讨论的零输入响应和零初态响应相加在一起，就能得到系统状态运动规律的基本表达式如下：

特别的，对于特征值，两两相异的连续时间线性时不变系统可以导出基于特征值和特征向量的状态响应表达式。根据特征结构的状态响应关系式及其推论。系统运动行为性能与特征值特征向量有着直接的关系，在随后的介绍中还将讨论稳定性、能控性，能观性和特征值的关系。特征结构，特别是特征值，也是系统综合的一类重要指标形式，

线性系统理论第三章 线性系统的运动分析​wenku.baidu.com

二、状态转移矩阵

不管是初始状态引起的运动，还是输入作用引起的运动，本质上都属于相应状态的一种转移，引入状态转移矩阵有利于使状态响应表达式更为直观的反映这个事实。

先讨论零输入响应

可以看出在t大于t0的任意时刻，系统的状态是通过矩阵指数函数

，由初始状态在状态空间中实现的转移，因此可以将

记作

，称为

状态转移矩阵。 （此处需要注明：国内线性系统理论里，状态转移矩阵是从基本解阵引出的）

有了这个认识，再讨论一般的情况，由基本表达式可得

三、脉冲响应矩阵

前面经典控制理论里提到了脉冲信号和脉冲响应，既然传递函数都可以推广到多输入多输出，那么脉冲响应也能推广到脉冲响应矩阵：

此处简单介绍一个非常重要的概念：卷积。

如何通俗易懂地解释卷积？​www.zhihu.com

对于线性时不变系统，如果我们知道输入作用和脉冲响应或者脉冲响应矩阵，就可以通过卷积的形式求出来此时的输出响应。

当然，对于我们应用角度来说，更感兴趣的是脉冲响应矩阵与状态空间方程有什么关系

与传递函数矩阵有什么关系

一些其他结论

线性时变系统的推广

对于线性时变系统，状态转移矩阵的基本形式：

四、离散化

在计算机控制文章里介绍了离散化方法，这里推广到状态空间里

参考文献：

1、线性系统理论，郑大钟

2、线性系统理论与设计，陈启宗