对面积和坐标的曲面积分

2024-06-11 20:55:59

对面积的曲面积分

引言：对面积的曲面积分可以用来求曲面质量
设f(x,y,z)表示曲面在（x,y,z）这点的面密度，ds为曲面在这点的微元面积
所以曲面质量为：

若另z=f（x,y）,且把ds用dxdy表示，则有

由此，便可通过求二重积分求解第一个积分了。
（也可以把y表示成x,z的函数或者把x表示成y,z的函数）

对坐标的曲面积分

引言：对坐标的曲线积分求的是变力作功，对坐标的曲面积分求的则是通过曲面的流量，即把曲面放入具有指定方向的流量场，然后求单位时间内通过的流量。
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这里又要引入新的概念。其实概念只是对现象的一种表述，有时候你见过现象，但是给你说这种概念的时候却不知道指的是哪种现象。所以要建立起一个由现象到概念的双向映射图，在我们脑中的。
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对于一个球面，其有内侧和外侧之分。若我们取它的法向量指向朝外，则认为我们取定了它的外侧。这种指定了侧的曲面叫做有向曲面。
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设A是有向曲面，取其上一小块面积△S，假定△S上的法向量与z轴具有相同夹角α，即cosα都是正的或负的，规定△S在xOy上的投影为

设流量场函数为：
v(x,y,z)=P(x,y,z,)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,v为向量。
则流向A指定侧的流量为：

可以把P,Q ,R分别投影到yOz,xOz,xOy上去，因为曲面有侧，所以投影后的积分也有正有负，其中若指定的侧的法向量指向三维坐标系的外侧，则投影后的二重积分应加符号，若指向三维坐标系的内侧，则不加符号。

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