人工智能数学基础8：两个重要极限及夹逼定理

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一、极限公式1

二、极限公式2

e为常数2.71828…

变体：

使用案例：

三、夹逼定理

夹逼定理英文原名Squeeze Theorem，也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。是法国著名数学家、物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）提出的。

3.1、数列夹逼定理

3.2、函数夹逼定理

f(x)与g(x)在x0处连续且存在相同的极限A，即x→ x0时, lim f(x)=lim g(x)=A,则若有函数k(x)在x0 的某邻域内(如x0∈（x1,x2）)，恒有f(x)≤k(x)≤g(x),则当X趋近x0时 ,有lim f(x)≤lim k(x)≤lim g(x)，即A≤lim k(x)≤A
故 lim k(x)=A。

简单地说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

四、极限公式1的证明

证明方法：在下面的圆中，假设圆半径r=1（即圆为单位圆），OC=x，AC=y，AC垂直OB于C，DB为圆的切线，切点为B，则sinθ=y/r=y，tanθ=Y/X=BD/OB=BD，弧AB的长=θ * 2πr/360 =θ * 2π/360 =θ 。由图中可以得知：

y<AB长<弧AB长，即sinθ < θ
S△OBD＞S扇OAB＞S△OAC,即BDr/2>πrrθ/2π>y*x/2，r=1,x<r,得出BD>θ>y
从上面结论tanθ=BD、sinθ = y、BD>θ>y 得出：tanθ /sinθ > θ / sinθ > sinθ/sinθ,即：1/cosθ>θ / sinθ > 1，在θ趋于0时cossθ的极限值为1，因此1/cosθ极限值为1，根据夹逼定理θ / sinθ的极限值为1。

五、极限公式2的证明思路

5.1、证明（1+1/x）的x次方小于3

将（1+1/x）的x次方用二项式展开，变为：
1+x*1/x+x(x-1)/(2!*x²) +x(x-1)(x-2)/(3!*x³）+…+(1/x) 的x次方

可以看到对上面公式中：

每项都小于1
在n大于3时小于x时，第n项等于：x*(x-1)*…(x-n+2)/((n-1)!x的（n-1）次方)，由于（x-k）/x小于等于1，则每项小于：1/(n-1)!，进一步小于等于1/(n-1)(n-2)
从上步可知，二项式展开式小于等于：1+1+1/(21)+1/(32)+1/(4*3)… ,也即二项式展开式小于等于：
2+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(x-2)-1/(x-1)+(1/x)的x次方，也即小于:
3-1/(x-1)+(1/x)的x次方，在x大于1的情况下1/(x-1)大于(1/x)的x次方，因此可以知道结果值小于3。

5.2、证明（1+1/x）的x次方单调递增

单调递增的证明非常简单，即将（1+1/x）的x次方和（1+1/(x+1)）的x+1次方分别进行展开，可以看到后者展开的每项都大于等于前者且多一项。

从上面两步说明，（1+1/x）的x次方是小于3的单调递增的有界函数，其极限值称为e。

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