利用拉格朗日中值定理求极限

求极限常用等价无穷小替代、洛必达法则、泰勒公式等方法，有时候等价无穷小不能用，洛必达法则过于繁琐，泰勒公式法虽然强大但是相对麻烦。对有一些形式，使用拉格朗日中值定理非常便捷。下面举两个个例子：

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ x^{2}\left ( \arctan( \frac{2}{x})-\arctan(\frac{2}{x+1})) \right )$

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$x^{2}\left (a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}} \right )$

这种形式的式子，很明显直接使用等价无穷小是不行的，洛必达法则又麻烦至极，泰勒公式做起来也不轻松。

我们发现上述式子有这样的特点：右侧减法式子里，两项的形式都非常类似，并且随着极限的趋向，两项越来越接近。这时候我们可以使用拉格朗日中值定理处理这个减法式子。

于是上述式子就可以变成（恒等变换）：

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ x^{2}\frac{1}{\zeta ^{2}+1}\left ( \frac{2}{x}-\frac{2}{x+1} \right )$

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ x^{2}*a^{\zeta}lna \left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )$

这个时候，随着x的增大，可以发现，拉格朗日中值定理作用的区间越来越小，最终可以确定 $\zeta\to0$ 然后接下来就非常好办了

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ \frac{2x^{2}}{x(x+1)}=2$

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ \frac{x^{2}lna}{x(x+1)}=lna$

上面的式子有这样的共性：1.存在两项相减因式且形式相同；2.随着x的变化，因式的两项越来越接近（ $\zeta$ 所在区间变小）

利用拉格朗日中值定理求极限相关推荐

高等数学期末总复习 DAY 3.利用导数定义求极限判断连续与可导的关系关于导数定义的证明题基本求导基本高阶求导抽象函数求导
DAY 3. 一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量,而是虚荣嫉妒不甘心文章目录 DAY 3. 1. 利用导数定义求极限 2.判断连续与可导的关系 3.关于导数定义的证明题 4.基本复合函数求 ...
【高数】用拉格朗日中值定理解决极限问题
首先回顾一下拉格朗日定理的内容: 函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续.开区间(a,b)上可导的函数,那么至少存在一个,使得: 通过这个表达式我们可以知道,f(x)是函数的主体,a和b可以看作是主体 ...
高等数学---第三章微分中值定理及导数应用---拉格朗日中值定理的应用
1拉格朗日定理的伟大意义拉格朗日定理的伟大意义是把函数的整体形态与导数的局部形态联系起来 2拉格朗日中值定理证明不等式 3拉格朗日中值定理求极限 4拉格朗日中值定理做证明题
【补充习题一】夹逼准则等求极限
求极限 1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$$ 提示:使用夹逼准则 $1!+2!+\cdot+(n-2)!<(n-2)(n-2)!$ ...
拉格朗日中值定理ξ怎么求_微分学核心定理——中值定理
拉格朗日中值定理: 拉格朗日中值定理说,如果一个函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得或拉格朗日中值定理的意思就是: 连接图像上 ...
拉格朗日中值定理ξ怎么求_【实力干货】！！！高中数学教材之外的常用定理和公式！！！...
点击上方蓝色字体"高中数学王晖"关注王晖老师,免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞和支持~~~ 距高考还有22天本文给同学们总结了在高中教材中未提及 ...
高等数学求极限之利用基本极限求极限
利用基本极限求极限
一文彻底搞懂拉格朗日中值定理秒杀复杂极限问题（内含高级秒杀结论）
懂不懂拉式中值,在解极限的时候,是两重境界.用一个例题来体会,自行感受. 题目: lim⁡x→0cos(sinx)−cosxx4\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{cos(sin ...
拉格朗日中值定理ξ怎么求_拉格朗日（Lagrange）中值定理证明思路
自己一直用史济怀老师的视频和教材学习数学分析.对于史济怀老师证明拉格朗日中值定理的方法感觉太突兀了,在看知乎关于史济怀老师那本书的评论时,甚至有人因为一个定理的证明就否定整本书,我觉得还是欠妥,我个人 ...
python编程求极限_Sympy笔记一
from IPython.display import display from sympy import * 前置知识理解这份笔记的内容需,读者需要具备基础的python知识并且对函数,微积分和矩 ...

利用拉格朗日中值定理求极限

利用拉格朗日中值定理求极限相关推荐

最新文章

热门文章