【高数】用拉格朗日中值定理解决极限问题

首先回顾一下拉格朗日定理的内容：

函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续、开区间(a,b)上可导的函数，那么至少存在一个 $\delta$ ，使得:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\delta )$

通过这个表达式我们可以知道，f(x)是函数的主体，a和b可以看作是主体函数f(x)中所取的两个值。

那么可以有， $f(b)-f(a)=f'(\delta )(b-a)$ $(\delta =h(x) or \delta =g(x))$ 也就意味着我们可以用 $f'(\delta )(b-a)$ 来替换 $f(b)-f(a)$ 这种替换可以用在求某些多项式差的极限中。

方法：

$\lim_{x \to 0}f(h(x))-f(g(x))$ 外层函数f(x)是一致的，并且 h(x)和g(x)是等价无穷小。此时，利用拉格朗日定理，将原式替换为 $f'(\delta )[h(x)-g(x)]$ ，再进行求解，往往会省去复合函数求极限的很多麻烦。

使用要注意：

1.要先找到主体函数f(x)，即外层函数必须相同。

2.f(x)找到后，复合部分是等价无穷小。

3.要满足作差的形式。如果是加和，需要化成差的形式，再用拉格朗日定理。

【疑点】为什么复合部分得是等价无穷小？

其实利用拉格朗日定理，目的是抽离符合部分，简化运算过程。

$\delta$ 是在（a,b）上的，这里将h(x)和g(x)当作了端点值a、b,让 $\delta$ 取用了这两个端点值的其中任一种。当复合部分是等价无穷小时， $\delta$ 才可以取用其中任意一种，来满足拉格朗日定理。

学以致用

eg1. $\lim_{x\to0 }\frac{cos(sinx)-cos(sintanx)}{x^{4}}$

解答： $f(x)=cossinx,x\sim tanx$

利用拉格朗日定理，可有原式等价于 $\lim_{x \to 0}\frac{f'(\delta )(x-tanx)}{x^{4}}$

进而有， $\lim_{x \to 0}\frac{-sinsinx\times cosx(x-tanx)}{x^{4}}$

又有 $sinsinx\sim sinx\sim x,x-tanx\sim -\frac{1}{3}x^{3}$

故答案为 $\frac{1}{3}$

eg2. $\lim_{x\to 0}\frac{e^{sinx}-e^{tanx}}{ln(x+1)x^{2}}$

解答：

由 $f(x)=e^{x} , sinx\sim tanx$ ，且分母部分 $ln(1+x)\sim x$

故利用拉格朗日定理有，原式等价于 $\lim_{x \to 0}\frac{cosxe^{sinx}(sinx-tanx)}{x^{3}}$

又 $cosxe^{sinx}\rightarrow 1,sinx-tanx\sim -\frac{1}{2}x^{3}$

故答案为 $-\frac{1}{2}$

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