一文彻底搞懂拉格朗日中值定理秒杀复杂极限问题（内含高级秒杀结论）

懂不懂拉式中值，在解极限的时候，是两重境界。用一个例题来体会，自行感受。

题目： lim⁡x→0cos(sinx)−cosxx4\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{cos(sinx)-cosx}{x^{4}}}limx→0x4cos(sinx)−cosx
当你不会拉式中值的时候，你的解答如下：

可见不用拉式中值的解答，又臭又长！

但是当你会拉式中值时，你的解答是这样：

运用拉式中值解决极限
三步解决问题它不香么？别人还在写的时候，我的结果都已经口算出来了！
那么这种化劲是怎么练出来的？学长就带你研究！！！

对于数学中的性质和公式，一般我们从三个方面去思考：

1.这个公式是什么(本质)；
2.这个公式什么时候用；
3.这个公式怎么用。

1.这个公式是什么

首先回归定理：

f(x1)−f(x2)=f′(ξ)(x1−x2)f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)(x_{1}-x_{2})f(x1)−f(x2)=f′(ξ)(x1−x2)，其中ξ\xiξ介于x1x_{1}x1与x2x_{2}x2之间
上式 x1、x2x_{1}、x_{2}x1、x2 是个数，如果推广为函数呢？
f[g(x)]−f[h(x)]=f′(ξ)[g(x)−h(x)]f[g(x)]-f[h(x)]=f'(\xi)[g(x)-h(x)]f[g(x)]−f[h(x)]=f′(ξ)[g(x)−h(x)]，其中ξ\xiξ介于g(x)g(x)g(x)与h(x)h(x)h(x)之间
这就是上面应用拉氏中值求极限的核心：两个复合函数作差变成了内层函数作差，这就相当于将原来的两个复合函数的皮(外层函数f相当于皮)给剥掉了。这样的话，就能起到化繁为简的目的，这就是拉氏中值。

2.什么情况下用？

公式中有两处细节：a.复合函数作差；b.外层函数一致。所以，满足这两个条件，就可以马上掏出拉氏中值试一试。

3.怎么用？

数学做题的过程就是化繁为简，变未知到已知的过程。我们还是从第一点拉氏中值的本质入手，观察下这个式子：

我们最终是通过拉氏中值转化到右边的式子，如果右边的式子可以求出来，那么我们的工作就完成了，拉氏中值也完成了它得使命。但是可不可以求出来呢？我们观察一下：右边式子中 f′(x),g(x),h(x)f'(x),g(x),h(x)f′(x),g(x),h(x) 都是可以找出来或者求出来，而参数ξ\xiξ却让人为难，我们只知道参数ξ\xiξ的一个范围，但是具体是多少不一定清楚。所以这里就是一个关键问题，也是衡量拉氏中值能不能顺利做下去的命门：参数搞不搞的定！
那么参数如何搞定呢？一般有两个思路：a.夹逼定理；b.等价于某个关于x的式子。

a.夹逼定理：

我们知道了参数ξ\xiξ的一个范围，它是在 g(x)g(x)g(x) 和 h(x)h(x)h(x) 之间，假设 g(x)≥h(x)g(x)\geq h(x)g(x)≥h(x) ，那么就有 h(x)≤ξ≤g(x)h(x)\leq \xi\leq g(x)h(x)≤ξ≤g(x) ,是不是有点夹逼定理的味道了？如果取极限后g(x)g(x)g(x) 和 h(x)h(x)h(x)相等，那么参数ξ\xiξ就可以夹出来了。

话不多说，直接上题，彻底搞定这个思路：

本题中g(x)g(x)g(x)和h(x)h(x)h(x)都趋近于1，因此通过夹逼定理得到参数ξ\xiξ也趋近于1，然后直接带进 f′(x)f'(x)f′(x)中(代入后不为∞也不为0)，就可以正常解出这个极限。
所以有本方法的适用范围：g(x)g(x)g(x)和h(x)h(x)h(x)都趋近于 x0x_{0}x0 ，同时lim⁡x→x0f′(x)\lim_{x \rightarrow x_{0}}f'(x)limx→x0f′(x)存在且不为0。
不适用范围：如果g(x)g(x)g(x)和h(x)h(x)h(x)都趋近于0（或∞），且 lim⁡x→0(或∞)f′(x)\lim_{x \rightarrow 0(或∞)}{f'(x)}limx→0(或∞)f′(x) 为∞∞∞或者000，这时候夹逼定理得参数ξ\xiξ的值就不再适用了，尝试使用方法b搞。

b.等价于某个关于x的式子：

适用于：当内层函数趋近于0，同时 x→0,f′(x)～mxkx \rightarrow 0,f'(x)～mx^{k}x→0,f′(x)～mxk （其中m，km，km，k为非0常数）
或者当内层函数趋近于∞，同时 x→∞,f′(x)～mxkx \rightarrow ∞,f'(x)～mx^{k}x→∞,f′(x)～mxk （其中m，k为非0常数）

上述条件看似很严格，但是所幸在考研极限题目中，基本上都是满足的，本文所选取的极限也是满足的。所以其作为一个隐含条件在过程中就没有体现。严谨的小伙伴可以在用该方法求极限之前稍微判定一下。

该方法如何做？

如果 h(x)h(x)h(x) 和 g(x)g(x)g(x) 的极限趋近于无穷或者趋近于0，则需要判断一下 lim⁡x→x0h(x)g(x)\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{h(x)}{g(x)}}limx→x0g(x)h(x) 是否为1？如果是1。就可以将参数ξ\xiξ等价于一个函数，再带入求极限。而这个函数处于h(x)h(x)h(x) 和 g(x)g(x)g(x)之间就可以。抽象？直接上题。

一道简单的拉式中值，判定结果为1之后运用等价求参数
这道题看见两个内层函数趋近于无穷，所以我们判定 lim⁡x→x0h(x)g(x)=1\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{h(x)}{g(x)}}=1limx→x0g(x)h(x)=1 后，就可以把参数等价为 x2x^{2}x2 ，进而得出结果。(本文开头的题目也是这样的思路)。也许你疑惑：为什么这样判定？判定后为啥可以这样设？

数学证明来解释这一点：

1.首先证明参数 ξ和h(x)与g(x)\xi 和 h(x) 与 g(x)ξ和h(x)与g(x) 之间的函数等价：

2.再证明 f′(ξ)f'(\xi)f′(ξ) 与f′(y(x))f'(y(x))f′(y(x)) 等价(其中 y(x)y(x)y(x) 为h(x)h(x)h(x) 与 g(x)g(x)g(x) 之间的函数)：

注：若此时h(x)h(x)h(x)和g(x)g(x)g(x)趋近于∞，证法相似。
如果找不到介于 h(x)h(x)h(x) 和 g(x)g(x)g(x) 之间的函数，可以直接令f′(ξ)f'(\xi)f′(ξ)等价于 f′(g(x))f'(g(x))f′(g(x)) 或 f′(h(x))f'(h(x))f′(h(x)) 。
于是就有了如下精简拉氏中值秒杀结论：

补充两点：

1.对于数列极限，也可以运用拉氏中值求解，只不过需要在运用之前将数列转变为函数，即 n→xn\rightarrow xn→x ，即可。
2.方法b及相应的结论在计算小题时，可以快速得到答案；对于大题而言，可以用这个方法及结论快速判断能否用拉氏中值，同时可以利用这个方法快速验算自己的结果。如果想要在大题中使用方法b，则具体步骤要写的详细一点（利用夹逼定理），如下例题。

总结一下：

1.看见复合函数相减(有些相加可以通过变形变成相减)就要考虑到拉式中值。
2.并不是所有复合函数相减都能用拉式中值，主要看参数能不能求出来。
3.求出参数的方法有两种，一个是夹逼定理；一个就是将参数等价为关于x的式子。
趁热打铁：

1.lim⁡x→∞x2(arctanax−arctanax+1)\lim_{x \rightarrow \infty}{x^{2}(arctan\frac{a}{x}-arctan\frac{a}{x+1})}limx→∞x2(arctanxa−arctanx+1a) 其中a大于0
2.lim⁡x→25x−1−2x+5x2−4\lim_{x \rightarrow 2}{\frac{\sqrt{5x-1}-\sqrt{2x+5}}{x^{2}-4}}limx→2x2−45x−1−2x+5
3.lim⁡x→0ln(1+x2)−ln(1+sin2x)x4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+x^{2})-ln(1+sin^{2}x)}{x^{4}}limx→0x4ln(1+x2)−ln(1+sin2x)

到此结束~
我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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