数值分析：复化梯形公式与复化Simpson公式

实验3.1

1 实验目的

1.1 实验3.1:分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分，并与精确积分值相比较，探讨两类积分公式的精度。

2 实验内容

编写相应的M文件实现下列问题：

分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算下列积分，并与精确积分值相比较，探讨两类积分公式的精度。

（1），将区间8等分；

（2），将区间4等分；

（3），将区间6等分；

3 实验知识点

3.1 复化梯形公式与复化Simpson公式求积分。

3.2 求积函数计算定积分

4 算法思想

3.1 复化梯形公式

3.2 复化Simpson公式

5 实验代码及结果

（一）实验3.1

5.1 ，将区间8等分；

5.1.1复化梯形求积分

代码

T_quad.m

function [In,er]=T_quad(a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

y=x./(x+4.^2);

c=[1 2*ones(1,n-1),1];

In=h/2*sum(c.*y);

I=quad(f,a,b,1e-5)

er=abs(I-In);

In,er

f.m

function f=f(x)

f=inline('x./(x+4.^2)')

%f=inline('sqrt(x)');

%f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

运行结果

5.1.2复化Simpson公式求积分

代码

复合辛普森方法函数如下：

function s=simpsion(f,a,b,n)

%复化辛普森公式求积分.

h=(b-a)/n;

x=linspace(a,b,2*n+1);

y=feval(f,x);

s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

end

运行结果

5.2 ，将区间4等分

5.2.1复化梯形公式求积分

代码

T_quad.m

function [In,er]=T_quad(a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

y=sqrt(x);

c=[1 2*ones(1,n-1),1];

In=h/2*sum(c.*y);

I=quad(f,a,b,1e-5)

er=abs(I-In);

In,er

f.m

function f=f(x)

%f=inline('x./(x+4.^2)')

f=inline('sqrt(x)');

%f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

运行结果

5.2.2复化Simpson公式求积分

代码

复合辛普森方法函数如下：

function s=simpsion(f,a,b,n)

%复化辛普森公式求积分.

h=(b-a)/n;

x=linspace(a,b,2*n+1);

y=feval(f,x);

s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

end

运行结果

5.3 ，将区间6等分

5.3.1复化梯形公式求积分

代码

T_quad.m

function [In,er]=T_quad(a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

y=sqrt(4-(sin(x)).^2);

c=[1 2*ones(1,n-1),1];

In=h/2*sum(c.*y);

I=quad(f,a,b,1e-5)

er=abs(I-In);

In,er

f.m

function f=f(x)

%f=inline('x./(x+4.^2)')

%f=inline('sqrt(x)');

f=inline('sqrt(4-(sinx).^2)')

运行结果

5.3.2复化Simpson公式求积分

代码

function s=simpsion(f,a,b,n)

%复化辛普森公式求积分.

h=(b-a)/n;

x=linspace(a,b,2*n+1);

y=feval(f,x);

s=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

end

结果

6 实验结果分析

由复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法求解可以看出，两种方法得到的结果相差不是很大。但在一般情况下，当分开的区间数n相等时，复化辛普森得到的结果比复化梯形公式得到的结果更加准确。若想通过复化梯形公式求解得到复化辛普森求解的精确值，就需要选取更大的n，即划分成更多的区间进行求解。

实验3.2

1 实验目的

已知地球卫星飞行轨迹、部分距离及轨迹周长计算公式等信息，选用适当的求积函数计算定积分，求解卫星轨迹长度。

2 实验内容

地球卫星飞行轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是:

式中，a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离。令h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km)为地球半径，则

我国第一颗人造地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=3484km,试求卫星轨道长度。

3 实验知识点

在科学研究和工程技术中，经常遇到积分的计算，虽然有些函数的不定积分可以求出其初等函数表示式，但有更多的函数，它们的不定积分不是初等函数，这样就无法利用牛顿莱布尼兹公式求出其定积分，甚至经常遇到只知道函数在一些离散点的值，但函数表达式未知的情况，在上述情况下就必须以数值方法求定积分的近似值。用数值方法求定积分的近似值，通常称为数值积分。

4 算法思想

龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法，在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

5 实验代码

代码：

R=6371;

h=439;

H=3484;

a=(2*R+H+h)/2;

c=(H-h)/2;

syms theta

f=sqrt(1-(c/a)^2*sin(theta)^2);

s=a*int(f,theta,0,pi/2);

s=double(vpa(s))

6 实验结果