微分求积:复化梯形、复化辛浦生
复化梯形
将积分区间[a,b]划分n等分,步长,求积节点,在每个小区间上应用梯形公式
然后将它们累加求和,作为所求积分I的近似值.
记
式为复化梯形求积公式,下标n表示将区间n等分。
算法流程
算法代码
- double f(double x){
- if(x==0) return 1;
- else return (sin(x)/x);
- }
- double FuhuaTixing(int n,double a,double b){
- double h = (b-a)/n;
- double x = a;
- double s = 0;
- for(int k=0; k< n-1; k++){
- x += h;
- s += f(x);
- }
- double T = (f(a)+s*2+f(b))*h/2;
- return T;
- }
- int main(){
- char ans='n';
- do{
- cout<<"请输入积分区间(a,b):"<<endl;
- double a;
- double b;
- cin>>a>>b;
- cout<<"请输入等分份数n: "<<endl;
- int n; cin>>n;
- cout<<"由复化梯形公式球的结果:"<<FuhuaTixing(n,a,b)<<endl;
- cout<<"是否要继续?(y/n)";
- cin>>ans;
- }while(ans == 'y');
- return 0;
- }
复化辛复生
将积分区间[a,b]划分n等分,记子区间的中点为在每个小区间上应用辛普森公式,则有
其中
记
式为复化辛普森求积公式。
算法流程
算法代码
- double f(double x){
- if (x==0)
- return 1;
- else return (sin(x)/x);
- }
- double Xinfusheng(double a,double b,int n){
- double h = (b-a)/n;
- double x = a+1/2*h;
- double s = 4*f(x);
- for(int k=1;k<n;k++){
- x += 1/2*h;
- s += 4*f(x);
- x += 1/2*h;
- s += 2*f(x);
- }
- double T=(f(a)+s+f(b))*h/6;
- return T;
- }
- int main(){
- char ans='n';
- do{
- cout<<"请输入积分区间(a,b):"<<endl;
- double a;
- double b;
- cin>>a>>b;
- cout<<"请输入等分份数n: "<<endl;
- int n;
- cin>>n;
- cout<<"由复化梯形公式球的结果:"<<Xinfusheng(a,b,n)<<endl;
- cout<<"是否要继续?(y/n)";
- cin>>ans;
- }while(ans == 'y');
- return 0;
- }
实验过程原始记录
取n=2,4,8,16,精确解为0.9460831
实验结果及分析
2、比较两种方法运算的结果,复化辛甫生公式等分2份时实际要计算5个点的函数值,与复化梯形公式等分4份时计算量基本相同,但得到精度明显复化辛甫生公式要精确很多。
4、实验中的主要误差来自于计算机浮点运算中的截余。
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