欧拉回路

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Problem Description

欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个图，问是否存在欧拉回路？

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是节点数N ( 1 < N < 1000 )和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。当N为0时输入结
束。

Output

每个测试用例的输出占一行，若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

Sample Input

3 3 1 2 1 3 2 3 3 2 1 2 2 3 0

Sample Output

1 0

Author

ZJU

Source

浙大计算机研究生复试上机考试-2008年

假设5 个顶点，10条边

起始顶点 1 2 3 4 5

起始父节点 1 2 3 4 5

1---2

1---3

1---4

1---5

2---3

2---4

3---5

4---5

1.并查集

若为欧拉图，相当于图中所有顶点都相连（类比最小生成树），所以除了根节点以外，每个顶点都指向其他顶点（最终都指向跟节点）

欧拉图顶点 1 2 3 4 5

父节点 2（!1） 3（!2） 4(!3) 5(!4) 5

这里假设顶点6是根节点

判断一个图是否为欧拉回路充要条件是判断图中所有顶点的度是否都为偶数，还需判断是否为联通图。判断联通图方法为并查集，这里使用最简单的并查集

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int MaxV = 1005;
int degree[MaxV],fa[MaxV];//分别表示顶点的度数和顶点的父节点，就是指向该点的顶点
int N,M;
int find(int x)//获取根节点
{return fa[x]==x?x:find(fa[x]);
}
int main(){while(scanf("%d",&N)){if(N==0)break;scanf("%d",&M);memset(degree,0,sizeof(degree));//初始所有节点的度为0for(int i = 1 ; i <= N; i++)fa[i] = i ;                 //所有结点的父节点都是自身for(int i = 0 ; i < M ; i ++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);degree[u]++;                 //无向图，出度+1degree[v]++;                   //入度+1int x = find(fa[u]);int y = find(fa[v]);if(x!=y) //判断输入的两个顶点是否属于同一个树，即是否联通fa[x]=y;       //如果不联通，将其联通}bool t1=false,t2=true ;int cnt = 0 ;for(int i = 1 ; i <= N ; i++){if(fa[i] == i )     //判断所有顶点是否联通，若联通说明每个顶点的父节点都为某个顶点cnt++;        //也就是说所有顶点中只有一个顶点与父节点相同if(degree[i]&1){    //判断每个顶点的度数是否为奇数，一旦是，则证明不是欧拉图t2 = false ;break;}}if (cnt == 1)t1= true;if(t1 && t2 )printf("1\n");//两个条件同时成立说明为欧拉图else printf("0\n");}return 0;
}

2 .dfs

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int MaxV = 1005;
int vis[MaxV];
vector<int>vec[MaxV];
int N,M;
void dfs(int i ){vis[i] = 1;vector<int>::iterator it;for(it = vec[i].begin() ; it!=vec[i].end(); it++){if(vis[*it] == 0)dfs(*it);}
}
int main(){while(scanf("%d",&N)){if(N==0)break;scanf("%d",&M);memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i = 1 ; i <= N; i++)vec[i].clear();for(int i = 0 ; i < M ; i ++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);vec[u].push_back(v);vec[v].push_back(u);}dfs(1);int cnt = 0 ;bool t1 = false ,t2 = true;for(int i = 1 ; i <= N ; i++){if(!vis[i])cnt++;if(vec[i].size()&1){t2 = false ;}}if (!cnt)t1= true;if(t1 && t2 )printf("1\n");//两个条件同时成立说明为欧拉图else printf("0\n");}return 0;
}

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