《算法竞赛进阶指南》0x62 T2 Picnic Planning

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题目描述

一群小丑演员，以其出色的柔术表演，可以无限量的钻进同一辆汽车中，而闻名世界。

现在他们想要去公园玩耍，但是他们的经费非常紧缺。

他们将乘车前往公园，为了减少花费，他们决定选择一种合理的乘车方式，可以使得他们去往公园需要的所有汽车行驶的总公里数最少。

为此，他们愿意通过很多人挤在同一辆车的方式，来减少汽车行驶的总花销。

由此，他们可以很多人驾车到某一个兄弟的家里，然后所有人都钻进一辆车里，再继续前进。

公园的停车场能停放的车的数量有限，而且因为公园有入场费，所以一旦一辆车子进入到公园内，就必须停在那里，不能再去接其他人。

现在请你想出一种方法，可以使得他们全都到达公园的情况下，所有汽车行驶的总路程最少。

输入格式

第一行包含整数 n，表示人和人之间或人和公园之间的道路的总数量。

接下来 n 行，每行包含两个字符串 A、B 和一个整数 L，用以描述人 A 和人 B 之前存在道路，路长为 L，或者描述某人和公园之间存在道路，路长为 L。

道路都是双向的，并且人数不超过 20，表示人的名字的字符串长度不超过 10，公园用 Park 表示。

再接下来一行，包含整数 s，表示公园的最大停车数量。

你可以假设每个人的家都有一条通往公园的道路。

输出格式

输出 Total miles driven: xxx，其中 xxx 表示所有汽车行驶的总路程。

输入样例：

10
Alphonzo Bernardo 32
Alphonzo Park 57
Alphonzo Eduardo 43
Bernardo Park 19
Bernardo Clemenzi 82
Clemenzi Park 65
Clemenzi Herb 90
Clemenzi Eduardo 109
Park Herb 24
Herb Eduardo 79
3

输出样例：

Total miles driven: 183

题解

考虑建图问题，由于边连接的是人名，即字符串，所以我们可以拿map映射人名给予下标，然后来用邻接矩形存边
这道题涉及到一些超出最小生成树范畴的思想，我们需要考虑删除1节点后以及与1节点相关的边之后，无向图会被分为多少个连通块，假设为T，我们首先在每一个连通块之间跑最小生成树，建立T+1棵树（1表示1号根）
我们将这T棵树中的一个节点与1号节点用一条边连接（这条边的权值应最小），于是一棵基本的树就建成了
这时考虑最优性，对于每个连通块内部，边权最小，对于每个连通块到1号节点之间，边权最小
瑕疵在于有些连通块内部的边，我们可以将其替换为连接1号点和连通块内部一点的边
这个操作最多进行S−TS-TS−T次，因为1号节点连接的边不能超过SSS条
考虑用(1,x)(1,x)(1,x)代替xxx到111的路径上权值最大的边，每次我们找出一对能使权值和减少的更多的边进行修改，如果无法进行更优的更改，我们就直接放弃之后的修改，break跳出循环，具体的细节见代码

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
map<string,int> mp;
map<pair<int,int>,bool> ff;
int f[N][N],vis[N],fa[N];
int n,s,cnt,tot;
struct node
{int u,v,w;
}edge[N];
bool cmp(node x,node y)
{return x.w<y.w;
}
void dfs(int x)
{for(int i=2;i<=tot;i++)if(f[x][i]&&!vis[i]){vis[i]=cnt;dfs(i);}
}
int U[N],V[N],dis[N];
void dfs1(int x,int fa)
{for(int i=2;i<=tot;i++){if(i==fa||!ff[make_pair(x,i)]) continue;if(dis[i]==-1){if(dis[x]>f[x][i]) U[i]=U[x],V[i]=V[x],dis[i]=dis[x];else U[i]=x,V[i]=i,dis[i]=f[x][i];}dfs1(i,x);}
}
int get(int x)
{if(x==fa[x]) return x;return fa[x]=get(fa[x]);
}
int main()
{scanf("%d",&n);mp["Park"]=tot=1;int t=0;for(int i=1;i<=n;i++){string a,b;int c;cin>>a>>b;scanf("%d",&c);if(!mp[a]) mp[a]=(++tot);//map映射 if(!mp[b]) mp[b]=(++tot);edge[++t].u=mp[a];//链式前向星存边 edge[t].v=mp[b];edge[t].w=c;f[mp[a]][mp[b]]=f[mp[b]][mp[a]]=c;//邻接矩阵连边 }scanf("%d",&s);for(int i=2;i<=tot;i++)//确定连通块的个数以及每个的大小 if(!vis[i]){vis[i]=++cnt;dfs(i);}sort(edge+1,edge+1+t,cmp);//对边权排序 int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;//并查集初始化 for(int i=1;i<=t;i++)//连通块内部连边 {int fx=get(edge[i].u),fy=get(edge[i].v);if(fx==1||fy==1||fx==fy) continue;fa[fx]=fy;ans+=edge[i].w;ff[make_pair(edge[i].u,edge[i].v)]=1;ff[make_pair(edge[i].v,edge[i].u)]=1;}for(int i=1;i<=cnt;i++)//连接1号节点 {int now=1e9,st=0;for(int j=2;j<=tot;j++)if(vis[j]==i)if(now>f[1][j]&&f[1][j]){now=f[1][j];st=j;}ans+=now;ff[make_pair(1,st)]=ff[make_pair(st,1)]=1;}int T=cnt;for(int i=T+1;i<=s;i++)//将连通块内部边改为与1节点相连的边 {int now=0,id;memset(U,0,sizeof(U));memset(V,0,sizeof(V));memset(dis,-1,sizeof(dis));dfs1(1,-1);for(int j=2;j<=tot;j++)if(now<dis[j]-f[1][j]&&f[1][j]) now=dis[j]-f[1][j],id=j;if(now<=0) break;ans-=now;ff[make_pair(U[id],V[id])]=0;ff[make_pair(1,id)]=ff[make_pair(id,1)]=1;}printf("Total miles driven: %d",ans);return 0;
}